2015-2016学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高一下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-02-22 类型：期中考试

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一、选择题

1. 若集合M={x∈R|﹣3＜x＜1}，N={x∈Z|﹣1≤x≤2}，则M∩N=（）

A、{0} B、{﹣1，0} C、{﹣1，0，1} D、{﹣2，﹣1，0，1，2}

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2. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线， $\vec{c}$ =k $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ， $\vec{d}$ = $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ，如果 $\vec{c}$ ∥ $\vec{d}$ ，那么（）

A、k=1且 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 同向 B、k=1且 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 反向 C、k=﹣1且 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 同向 D、k=﹣1且 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 反向

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3. 设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₇=35，则a₄=（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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4. 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）

A、（￢p）∨q B、p∧q C、（￢p）∧（￢q） D、（￢p）∨（￢q）

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5. 已知f（x）=lg（ $\sqrt{x^{2} + 1}$ ﹣ax）是一个奇函数，则实数a的值是（）

A、1 B、﹣1 C、±1 D、10

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6. 已知a、b为实数，则2^a＞2^b是log₂a＞log₂b的（）

A、必要非充分条件 B、充分非必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（）

A、甲 B、乙 C、一样低 D、不确定

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8. 设F₁、F₂分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、3x±4y=0 B、3x±5y=0 C、4x±3y=0 D、5x±4y=0

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9. 若3a+4b=ab，a＞0且b＞0，则a+b的最小值是（）

A、 $6 + 2 \sqrt{3}$ B、 $7 + 2 \sqrt{3}$ C、 $6 + 4 \sqrt{3}$ D、 $7 + 4 \sqrt{3}$

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10. 若不等式组 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ x + 3 y \geq 4 \\ 3 x + y \leq 4 \end{matrix}$ 所表示的平面区域被直线y=kx+ $\frac{4}{3}$ 分为面积相等的两部分，则k的值是（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）

A、 $\frac{1}{a}$ ＞ $\frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a - b}$ ＞ $\frac{1}{a}$ C、|a|＞|b| D、a²＞b²

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12. 设正数x，y满足x²+ $\frac{y^{2}}{2}$ =1，则x• $\sqrt{1 + y^{2}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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二、填空题

13. 设g（x）= ${\begin{matrix} e^{x} ， x \leq 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{matrix}$ ，则g（g（ $\frac{1}{2}$ ））= ．

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14. 抛物线y²=12x上一点M到抛物线焦点的距离为9，则点M到x轴的距离为

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15. 在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1．点M满足 $\vec{B M} = 2 \vec{A M}$ ，则 $\vec{C M} \cdot \vec{C A}$ = ．

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16. 已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图像关于直线x=1对称，则sin2φ ．

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三、解答题

17. 已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+r．

(1)、求实数r的值和{a_n}的通项公式；

(2)、若数列{b_n}满足b₁=1，b_n₊₁﹣b_n=log₂a_n₊₁ ，求b_n ．

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18. 某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课．为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]．

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；

(3)、若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在[40，50]上的概率．

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19. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）在一个周期内的图像如图所示，其中M（ $\frac{π}{12}$ ，2），N（ $\frac{π}{3}$ ，0）．

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a= $\sqrt{13}$ ，c=3，f（ $\frac{A}{2}$ ）= $\sqrt{3}$ ，求△ABC的面积．

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20. 如图四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，且CD=2，AB=BC=PA=1，PD= $\sqrt{3}$ ．

(1)、求三棱锥A﹣PCD的体积；

(2)、问：棱PB上是否存在点E，使得PD∥平面ACE？若存在，求出 $\frac{B E}{B P}$ 的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．

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21. 已知点A（﹣ $\sqrt{2}$ ，0），B（ $\sqrt{2}$ ，0），动点E满足直线EA与直线EB的斜率之积为﹣ $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求动点E的轨迹C的方程；

(2)、设过点F（1，0）的直线l₁与曲线C交于点P，Q，记点P到直线l₂：x=2的距离为d．
（ⅰ）求 $\frac{| P F |}{d}$ 的值；
（ⅱ）过点F作直线l₁的垂线交直线l₂于点M，求证：直线OM平分线段PQ．

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22. 已知函数f（x）=lnx﹣ $\frac{1}{2}$ a（x﹣1）（a∈R）．

(1)、若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)、若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）试比较e^a^﹣²与a^e^﹣²的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）．

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