2016-2017学年浙江省温州市平阳二中高三上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-02-21 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知a，b是实数，则“a＞|b|”是“a²＞b²”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 函数f（x）=2x﹣ $\frac{1}{x}$ 的图象关于（）

A、y轴对称 B、直线y=﹣x对称 C、直线y=x对称 D、坐标原点对称

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3. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $1 - \frac{π}{6}$ C、 $1 - \frac{π}{3}$ D、 $1 - \frac{π}{12}$

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4. 函数f（x）= $\frac{A}{\sin (ω x + ϕ)}$ （ω＞0），|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则f（π）=（）

A、4 B、2 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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5. x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或﹣1 B、2或 $\frac{1}{2}$ C、2或1 D、2或﹣1

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6. 设向量 $\vec{a}$ =（cosα，sinα）， $\vec{b}$ =（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π，若|2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ |，则β﹣α等于（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、﹣ $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、﹣ $\frac{π}{4}$

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7. 如图所示，A，B，C是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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8. 已知函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x² ，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{3})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ D、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$

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二、填空题

9. 集合A={0，|x|}，B={1，0，﹣1}，若A⊆B，则A∩B= ， A∪B= ， ∁_BA= ．

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10. 已知直线l₁：ax+2y+6=0，l₂：x+（a﹣1）y+a²﹣1=0，若l₁⊥l₂ ，则a= ，若l₁∥l₂ ，则l₁与l₂的距离为

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11. 若f（x）= ${\begin{matrix} \frac{x}{2} ， x \geq 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{matrix}$ ，则f（f（﹣1））= ， f（f（x））≥1的解集为．

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12. 设数列{ $\frac{a_{n}}{n}$ }是公差为d的等差数列，若a₃=2，a₉=12，则d=；a₁₂=

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13. 设抛物线y²=4x的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线x+y=2上，则此圆的半径为

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14. 设二次函数f（x）=ax²﹣4x+c（a≠0）的值域为[0，+∞），且f（1）≤4，则 $u = \frac{a}{c^{2} + 4} + \frac{c}{a^{2} + 4}$ 的最大值是．

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15. 各棱长都等于4的四面ABCD中，设G为BC的中点，E为△ACD内的动点（含边界），且GE∥平面ABD，若 $\vec{A E}$ • $\vec{B D}$ =1，则| $\vec{A E}$ |= ．

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三、解答题

16. 设函数f（x）= $\vec{m}$ • $\vec{n}$ ，其中向量 $\vec{m}$ =（2cosx，1）， $\vec{n}$ =（cosx， $\sqrt{3}$ sin2x），x∈R．

(1)、求f（x）的最小正周期与单调递减区间；

(2)、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\frac{b + c}{s i n B + \sin C}$ 的值．

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17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₁=1，且S_n=ta_n﹣ $\frac{1}{2}$ ，其中n∈N*．

(1)、求实数t的值和数列{a_n}的通项公式；

(2)、若数列{b_n}满足b_n=log₃a_2n ，求数列{ $\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ }的前n项和T_n ．

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18. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90℃，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形，平面ABCD⊥平面PBD．
（I）证明：CD⊥平面PBD；
（II）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的左顶点为A（﹣3，0），左焦点恰为圆x²+2x+y²+m=0（m∈R）的圆心M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A且与圆M相切于点B的直线，交椭圆C于点P，P与椭圆C右焦点的连线交椭圆于Q，若三点B，M，Q共线，求实数m的值．

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20. 已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+lnx在区间[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）过点P（1，﹣3）恰好能作函数y=f（x）图象的两条切线，并且两切线的倾斜角互补，求实数a的取值范围．

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