2016-2017学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高三上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-02-21 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知全集为R，集合A={x|2^x≥1}，B={x|x²﹣6x+8≤0}，则A∩（∁_RB）=（）

A、{x|x≤0} B、{x|2≤x≤4} C、{x|0≤x＜2或x＞4} D、{x|x＜2或x＞4}

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2. 已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）

A、a²＞b² B、 $\frac{a}{b}$ ＞1 C、lg（a﹣b）＞0 D、（ $\frac{1}{2}$ ）^a＜（ $\frac{1}{2}$ ）^b

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3. 在△ABC中，“sinB=1”是“△ABC为直角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设函数y=xcosx﹣sinx的图象上的点（x₀ ， y₀）处的切线的斜率为k，若k=g（x₀），则函数k=g（x₀）的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若 $\frac{1}{\sin α}$ + $\frac{1}{\cos α}$ = $\sqrt{3}$ ，则sinαcosα=（）

A、﹣ $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、﹣ $\frac{1}{3}$ 或1 D、 $\frac{1}{3}$ 或﹣1

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6. 已知函数f（x）= $\frac{| x |}{x + 2}$ ﹣kx²（k∈R）有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）

A、k＜0 B、k＜1 C、0＜k＜1 D、k＞1

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7. 已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（ $\frac{x + y}{2}$ ， $\frac{x - y}{2}$ ），并定义|（x，y）|= $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ，若|f[f（f（x，y））]|=4，则|（x，y）|的值为（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、8 $\sqrt{2}$ C、16 $\sqrt{2}$ D、32 $\sqrt{2}$

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8. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，c﹣b=6，c+b﹣a=2，且O为此三角形的内心，则 $\vec{A O} \cdot \vec{C B}$ =（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题

9. 若a=3 $^{\frac{1}{3}}$ ，b=log₄3，则log₃a= ， a与b的大小关系是．

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10. 已知函数y=log_a（x﹣1）+3，（a＞0且a≠1）的图象恒过点P，则P的坐标是，若角α的终边经过点P，则sin²α﹣sin2α的值等于．

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11. 将函数f（x）=sin（x+ $\frac{5 π}{6}$ ）图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到的新图象的函数解析式为g（x）= ， g（x）的单调递减区间是．

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12. 已知x∈R，函数f（x）= ${\begin{matrix} 2^{x} + t ， x \geq 0 \\ g (x) ， x < 0 \end{matrix}$ 为奇函数，则t= ， g（f（﹣2））=

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13. 已知△ABC中，AB=4，AC=2，|λ $\vec{A B}$ +（2﹣2λ） $\vec{A C}$ |（λ∈R）的最小值为2 $\sqrt{3}$ ，若P为边AB上任意一点，则 $\vec{P B}$ • $\vec{P C}$ 的最小值是．

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14. 在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD长为6，则当△ABC的面积取得最大值时，AB的长为．

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15. 记max{m，n}= ${\begin{matrix} m ， m \geq n \\ n ， m < n \end{matrix}$ ，设F（x，y）=max{|x²+2y+2|，|y²﹣2x+2|}，其中x，y∈R，则F（x，y）的最小值是

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三、解答题

16. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是常数）图象上的一个最高点为（ $\frac{π}{6}$ ，1），与其相邻的最低点是（ $\frac{2 π}{3}$ ，﹣3）．

(1)、求函数f（x）的解析式及其对称中心；

(2)、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ =﹣ $\frac{1}{2}$ ac，试求函数f（A）的取值范围．

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17. 已知函数f（x）=|x²﹣1|+x²﹣kx．

(1)、若k=2时，求出函数f（x）的单调区间及最小值；

(2)、若f（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围．

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18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC= $\frac{3}{4}$ ，c=﹣3bcosA．

(1)、求tanB的值；

(2)、若c=2，求△ABC的面积．

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19. 设向量 $\vec{a}$ =（λ+2，λ²﹣ $\sqrt{3}$ cos2α）， $\vec{b}$ =（m， $\frac{m}{2}$ +sinαcosα），其中λ，m，α为实数．

(1)、若α= $\frac{π}{12}$ ，求| $\vec{b}$ |的最小值；

(2)、若 $\vec{a}$ =2 $\vec{b}$ ，求 $\frac{λ}{m}$ 的取值范围．

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20. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} - x^{3} + x^{2} + b x + c ， x < 1 \\ a l ， x \geq 1 n x \end{matrix}$ 图象过点（﹣1，2），且在该点处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．

(1)、求实数b，c的值；

(2)、对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

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