2016-2017学年天津市红桥区高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-02-21 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知集合A={0，1，2，3，4，5}，B={1，3，6，9}，C={3，7，8}，则（A∩B）∪C=（）

A、{3} B、{3，7，8} C、{1，3，7，8} D、{1，3，6，7，8}

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2. 把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）

A、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ ，x∈R B、 $y = \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ ，x∈R C、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，x∈R D、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，x∈R

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3. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ $\frac{π}{2}$ ＜φ＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）

A、2，﹣ $\frac{π}{3}$ B、2，﹣ $\frac{π}{6}$ C、4，﹣ $\frac{π}{6}$ D、4， $\frac{π}{3}$

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4. 设a=2^0.3 ， b=0.3² ， c=log₂0.3，则a，b，c的大小关系是（　　）

A、a＜b＜c B、c＜b＜a C、c＜a＜b D、b＜c＜a

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5. ；给定函数① $y = x^{\frac{1}{2}}$ ，② $y = \log_{\frac{1}{2}} (x + 1)$ ，③y=|x﹣1|，④y=2^x+1 ，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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6. 函数f（x）=ln（x+1）﹣ $\frac{2}{x}$ 的零点所在的大致区间是（）

A、（0，1） B、（1，2） C、（2，e） D、（3，4）

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7. 函数y= $\frac{l g | x |}{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图所示，由抛物线y²=x和直线x=1所围成的图形的面积等于（）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 以下说法正确的有（）
（1）y=x+ $\frac{1}{x}$ （x∈R）最小值为2；
（2）a²+b²≥2ab对a，b∈R恒成立；
（3）a＞b＞0且c＞d＞0，则必有ac＞bd；
（4）命题“∃x∈R，使得x²+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x²+x+1≥0”；
（5）实数x＞y是 $\frac{1}{x}$ ＜ $\frac{1}{y}$ 成立的充要条件；
（6）设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∨￢q”也为假命题．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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10.
已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：
x
﹣1
0
4
5
f（x）
1
2
2
1
（1）函数y=f（x）是周期函数；
（2）函数f（x）在（0，2）上是减函数；
（3）如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
（4）当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．
其中真命题的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. |2x﹣1|≥3的解集是．

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12. 已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，则△ABC的面积为．

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13. 如果函数f（x）=ax²+2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是．

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14. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} \log_{3} x ， x > 0 \\ {(\frac{1}{3})}^{x} ， x \leq 0 \end{matrix}$ 那么不等式f（x）≥1的解集为．

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15. 若f（x）= ${\begin{matrix} x^{2} + 3 ， x \geq 0 \\ - x ， x < 0 \end{matrix}$ ，则 $\int_{- 1}^{1}$ f（x）dx= ．

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16. 已知函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示，给出如下命题：
①0是函数y=f（x）的一个极值点；
②函数y=f（x）在 $x = - \frac{1}{2}$ 处切线的斜率小于零；
③f（﹣1）＜f（0）；
④当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0．
其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）

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三、解答题

17. 已知一元二次不等式x²﹣ax﹣b＜0的解集是{x|1＜x＜3}．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、解不等式 $\frac{2 x + a}{x + b}$ ＞1．

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18. 设命题p：关于m的不等式：m²﹣4am+3a²＜0，其中a＜0，命题q：∀x＞0，使x+ $\frac{4}{x}$ ≥1﹣m恒成立，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

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19. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若 $a = 3 \sqrt{3}$ ，c=5，求b．

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20. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ （sin²x﹣cos²x）+2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设x∈[﹣ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{3}$ ]，求f（x）的值域和单调递增区间．

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21. 已知函数f（x）=x³﹣ax﹣1．

(1)、若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、是否存在实数a，使f（x）在（﹣1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．

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22. 已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x﹣1）；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+ $\frac{a}{x}$ （0＜x≤3），其图象上任意一点P（x₀ ， y₀）处切线的斜率k≤ $\frac{1}{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）讨论并求出函数f（x）在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最大值．

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x	﹣1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1