2016-2017学年上海师大附中高三上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-02-21 类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知全集U=R，A={x|x²﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∩∁_UB= ．

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2. 函数f（x）= $\sqrt[3]{x - 1}$ 的反函数f^﹣¹（x）= ．

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3. $\lim_{x \to \infty}$ $\frac{(n + 5) (1 - 3 n)}{{(2 n + 1)}^{2}}$ = ．

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4. 已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（ $\frac{π}{2}$ ，π），则tan2θ= ．

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5. 方程log₂（9^x+7）=2+log₂（3^x+1）的解为．

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6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S= $\frac{1}{4}$ （b²+c²﹣a²），则∠A= ．

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7. 已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且满足：a₁a₇=4，则数列{log₂a_n}的前7项之和为

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8. 如果函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x= $\frac{π}{8}$ 对称，那么实数a= ．

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9. 若数列{a_n}的通项公式是a_n= ${\begin{matrix} 2^{n + 1} (1 \leq n \leq 2) \\ \frac{1}{3^{n}} (n \geq 3) \end{matrix}$ ，前n项和为S_n ，则 $\lim_{n \to \infty}$ S_n的值为

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10. 已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0， $\frac{π}{3}$ ]单调递增，则实数ω的最大值为．

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11. 函数y=arcsin（x²﹣x）的值域为．

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12. 设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f（x）=x是“似周期函数”；
③函数f（x）=2^x是“似周期函数”；
④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）

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13. 已知数列{a_n}满足a₁=81，a_n= ${\begin{matrix} - 1 + \log_{3} a_{n - 1} ， n = 2 k \\ 3^{a_{n - 1}} ， n = 2 k + 1 \end{matrix}$ （k∈N^*），则数列{a_n}的前n项和S_n的最大值为

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14. 已知函数f（x）是定义在[1，+∞）上的函数，且f（x）= ${\begin{matrix} 1 - | 2 x - 3 | ， 1 \leq x < 2 \\ \frac{1}{2} f (\frac{1}{2} x) ， x \geq 2 \end{matrix}$ ，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2016）上的零点个数为

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二、选择题

15. “|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不不充分也不必要条件

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16. 函数y=2cos²（x﹣ $\frac{π}{4}$ ）﹣1是（）

A、最小正周期为π的奇函数 B、最小正周期为π的偶函数 C、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的奇函数 D、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的偶函数

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17. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ 2 x + 3 y - 6 \geq 0 \\ 3 x + 2 y - 9 \leq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）

A、﹣4 B、6 C、10 D、17

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18. 已知点列A_n（a_n ， b_n）（n∈N^*）均为函数y=a^x（a＞0，a≠1）的图象上，点列B_n（n，0）满足|A_nB_n|=|A_nB_n₊₁|，若数列{b_n}中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（）

A、（0， $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ）∪（ $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，+∞） B、（ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，1）∪（1， $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ） C、（0， $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ）∪（ $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ，+∞） D、（ $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，1）∪（1， $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ）

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三、解答题

19. 已知函数f（x）=2sin（x+ $\frac{π}{3}$ ）•cosx．

(1)、若0≤x≤ $\frac{π}{2}$ ，求函数f（x）的值域；

(2)、设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．

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20. 某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P= $\frac{x + 2}{4}$ （其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+ $\frac{1}{p}$ ）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+ $\frac{20}{p}$ ）元/件．

(1)、将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)、促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

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21. 已知函数 $f (x) = a x + \log_{2} (2^{x} + 1)$ ，其中a∈R．

(1)、根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；

(2)、已知a＞0，函数f（x）的反函数为f^﹣¹（x），若函数y=f（x）+f^﹣¹（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log₂3，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．

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22. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，且（S_n﹣1）²=a_nS_n（n∈N^*）．

(1)、求S₁ ， S₂ ， S₃的值；

(2)、求出S_n及数列{a_n}的通项公式；

(3)、设b_n=（﹣1）ⁿ^﹣¹（n+1）²a_na_n₊₁（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和为T_n ．

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23. 已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”．

(1)、判断f（x）=x²是否属于集合M，并说明理由；

(2)、若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；

(3)、若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（ $\frac{π}{2}$ x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．

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