2016-2017学年广东省湛江市高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-02-21 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x²﹣2x﹣3＜0}，B={y|y=2^x ， x≥0}，则A∩B=（）

A、（﹣1，3） B、[0，3） C、[1，3） D、（1，3）

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2. 已知向量 $\vec{B A}$ =（﹣ $\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}$ ）， $\vec{B C}$ =（ $\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}$ ），则∠ABC=（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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3. 若直线l与平面α相交，则（）

A、平面α内存在直线与l异面 B、平面α内存在唯一直线与l平行 C、平面α内存在唯一直线与l垂直 D、平面α内的直线与l都相交

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4. 已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（　　）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知某路段最高限速60km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如下（单位：km/h）．若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）

A、 $\frac{4}{15}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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7. 若执行如图所示的框图，输入x₁=1，x₂=2，x₃=4，x₄=8，则输出的数等于（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、 $\frac{13}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、3

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8. 已知F₁ ， F₂是双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E上，MF₁与x轴垂直，sin∠MF₂F₁= $\frac{1}{4}$ ，则双曲线E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、3

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9. 在△ABC中，若a=2b，面积记作S，则下列结论中一定成立的是（）

A、B＞30° B、A=2B C、c＜b D、S≤b²

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10. 函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或﹣1 B、2或 $\frac{1}{2}$ C、2或﹣1 D、2或1

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12. 已知定义在R上的可导函数f（x）满足f′（x）+f（x）＜0，设a=f（m﹣m²），b=e $^{m^{2} - m + 1}$ •f（1），则a，b的大小关系是（）

A、a＞b B、a＜b C、a=b D、a，b的大小与m的值有关

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二、填空题

13. 已知i是虚数单位，复数2+ $\frac{1}{i}$ 的模等于．

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14. 在各项均为正数的等比数列{a_n}中，若log₂a₂+log₂a₈=1，则a₃•a₇=

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15. 若（2x﹣1）²⁰¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₆x²⁰¹⁶（x∈R），记S₂₀₁₆= $\sum_{i = 1}^{2016} \frac{a_{i}}{2^{i}}$ ，则S₂₀₁₆的值为．

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16. 如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A（x₁ ， y₁），角β=α+ $\frac{2 π}{3}$ 的终边与单位圆交于点B（x₂ ， y₂），记f（α）=y₁﹣y₂ ．若角α为锐角，则f（α）的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， S_n=n²+n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若a_k₊₁ ， a_2k ， a_2k₊₃（k∈N^*）恰好依次为等比数列{b_n}的第一、第二、第三项，求数列{ $\frac{n}{b_{n}}$ }的前n项和T_n ．

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18. 在某天的上午9：00～12：00时段，湛江一间商业银行随机收集了100位客户在营业厅窗口办理业务类型及用时量的信息，相关数据统计如表1与图2所示．
一次办理业务类型
A型业务
B型业务
C型业务
D型业务
E型业务
平均用时量（分钟/人）
5
6.5
8
12
15
已知这100位客户中办理型和型业务的共占50%（假定一人一次只办一种业务）．
（Ⅰ）确定图2中x，y的值，并求随机一位客户一次办理业务的用时量X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某客户到达柜台时，前面恰有2位客户依次办理业务（第一位客户刚开始办理业务），且各客户之间办理的业务相互独立，求该客户办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率．
（注：将频率视为概率，参考数据：5×35+6.5×15+8×23+12×17=660.5，35²+15²+2×35×23+2×35×15=4110，35²+15²+35×23=2255）

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19. 如图，在三棱台ABC﹣A₁B₁C₁中，平面α过点A₁ ， B₁ ，且CC₁∥平面α，平面α与三棱台的面相交，交线围成一个四边形．
（Ⅰ）在图中画出这个四边形，并指出是何种四边形（不必说明画法、不必说明四边形的形状）；
（Ⅱ）若AB=8，BC=2B₁C₁=6，AB⊥BC，BB₁=CC₁ ，平面BB₁C₁C⊥平面ABC，二面角B₁﹣AB﹣C等于60°，求直线AB₁与平面α所成角的正弦值．

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20. 设椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ +y²=1（a＞1）的右焦点为F，右顶点为A，已知 $\frac{| F A |}{| O F |} + \frac{| F A |}{| O A |} = e$ ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）动直线l过点N（﹣2，0），l与椭圆E交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．

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21. 已知函数f（x）=alnx+（﹣1）ⁿ $\frac{1}{x^{n}}$ ，其中n∈N^* ， a为常数．
（Ⅰ）当n=2，且a＞0时，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若a=1，对任意的正整数n，当x≥1时，求证：f（x+1）≤x．

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22. 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = - \frac{3}{5} t + 2 \\ y = \frac{4}{5} t \end{matrix}$ （t为参数）

(1)、若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；

(2)、直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的 $\sqrt{3}$ 倍，求a的值．

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23. 设函数f（x）=|x﹣2|﹣3，g（x）=|x+3|

(1)、解不等式f（x）＜g（x）；

(2)、若不等式f（x）＜g（x）+a对任意x∈R恒成立，试求a的取值范围．

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一次办理业务类型	A型业务	B型业务	C型业务	D型业务	E型业务
平均用时量（分钟/人）	5	6.5	8	12	15