2016-2017学年北京师大二附中高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-02-21 类型：期中考试

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一、选择题：

1. 已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x²＜2，x∈Z}，则（）

A、M⊆N B、N⊆M C、M∩N={0} D、M∪N=N

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2. 复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2 $\sqrt{3}$ ，cosA= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．且b＜c，则b=（）

A、3 B、2 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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4. 已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）

A、若m∥α，n∥α，则m∥n B、若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β C、若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D、若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

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5. 将函数y=sin2x的图象先向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）

A、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{4}) + 1$ B、y=2cos²x C、y=2sin²x D、y=cosx

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6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）

A、8 B、 $\frac{8}{3}$ C、4 D、 $\frac{4}{3}$

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7. 如果关于x的方程 $a x + \frac{1}{x^{2}} = 3$ 正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（）

A、{a|a≤0} B、{a|a≤0或a=2} C、{a|a≥0} D、{a|a≥0或a=﹣2}

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8. 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）= $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}$ +4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \frac{9}{4} ， - 2]$ B、[﹣1，0] C、（﹣∞，﹣2] D、 $(- \frac{9}{4} ， + \infty]$

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二、填空题

9. 设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为．

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10. 若| $\vec{a}$ |=3，| $\vec{b}$ |=2，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，则| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |=

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11. 命题p：“∀x∈R，x²﹣x+1＞0”，则¬p为．

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12. 已知 $x \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) ， \sin (\frac{π}{4} - x) = - \frac{3}{5}$ ，则cos2x= ．

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13. 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且 $y = f (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当 $x = \frac{π}{2}$ 时，它一定取最大值；其中描述正确的是．

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14. 若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：
①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）²；③ $f (x, y) = \sqrt{x - y}$ ．
能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是．

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三、解答题

15. 已知函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{4} + x) \sin (\frac{π}{4} - x)$ ．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设α是锐角，且 $\sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，求f（α）的值．

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16. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 $\frac{\cos B}{\cos C}$ =﹣ $\frac{b}{2 a + c}$ ．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b= $\sqrt{13}$ ，a+c=4，求△ABC的面积．

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17. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= $\sqrt{3}$ ，求三棱锥E﹣ACD的体积．

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18. 已知函数f（x）=﹣x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．

(1)、若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式

(2)、若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

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19. 已知函数f（x）=cos $(x - \frac{π}{2})$ ，g（x）=e^x•f（x），其中e为自然对数的底数．

(1)、求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；

(2)、若对任意 $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．

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20. 已知集合A=a₁ ， a₂ ， a₃ ， …，a_n ，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2ⁿ ，求证： $l (A) = \frac{n (n - 1)}{2}$ ；
（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？

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