2016-2017学年上海师大附中高二上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-02-21 类型：期中考试

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一、填空题

1. 直线2x﹣y+1=0的一个单位法向量为（填一个即可）．

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2. 若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足| $\vec{b}$ |=2，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为．

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3. 设 $\vec{a}$ =（﹣2，3），| $\vec{a}$ |= $\frac{1}{2}$ | $\vec{b}$ |，且 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{b}$ 的坐标为．

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4. 某个线性方程组的增广矩阵是 $(\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} & 2 \\ \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} & 1 \end{matrix})$ ，此方程组的解记为（a，b），则行列式 $| \begin{matrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & b \\ a & 1 & 0 \end{matrix} |$ 的值是．

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5. 已知矩阵A= $(\begin{matrix} x & - 3 \\ y & 0 \end{matrix})$ ，B= $(\begin{matrix} - 2 y & 0 \\ - y & 11 - 2 x \end{matrix})$ ，C= $(\begin{matrix} 3 & - 3 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ，且A+B=C，则x+y的值为．

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6. 直线x﹣3y+5=0关于直线y=x对称的直线方程为（用一般式表示）

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7. 若行列式 $| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 - a & 3 a \\ 1 & a - 1 & a \end{matrix} |$ 中第一行第二列元素的代数余子式的值为4，则a= ．

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8. 如图，根据如图的框图所打印出数列的第四项是

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9. 已知直线l过点P（3，6）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，O是坐标原点，则当|OA|+|OB|取得最小值时的直线方程是（用一般式表示）

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10. 当θ在实数范围内变化时，直线xsinθ+y﹣3=0的倾斜角的取值范围是

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11. 已知位置向量 $\vec{O A}$ =（log₂（m²+3m﹣8），log₂（2m﹣2））， $\vec{O B}$ =（1，0），若以OA、OB为邻边的平行四边形OACB的顶点C在函数y= $\frac{1}{2}$ x的图象上，则实数m= ．

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12. 直线l与两直线y=1，x﹣y﹣7=0分别交于A，B两点，若直线AB的中点是M（1，﹣1），则直线l的斜率为．

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13. 在△ABC所在的平面上有一点P，满足 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{A B}$ ，则△PBC与△ABC的面积之比是．

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14. 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③如果直线l经过两个不同的整点，则直线l必经过无穷多个整点；
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．

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二、选择题

15. 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ﹣ $\vec{c}$ 都是非零向量，则“ $\vec{a}$ • $\vec{b}$ = $\vec{a}$ • $\vec{c}$ ”是“ $\vec{a}$ ⊥（ $\vec{b}$ ﹣ $\vec{c}$ ）”的（）条件．

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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16. 两直线l₁ ， l₂的方程分别为x+y $\sqrt{1 - \cos θ}$ +b=0和xsinθ+y $\sqrt{1 + \cos θ}$ ﹣a=0（a，b为实常数），θ为第三象限角，则两直线l₁ ， l₂的位置关系是（）

A、相交且垂直 B、相交但不垂直 C、平行 D、不确定

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17. 若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是互不平行的两个向量，且 $\vec{A B}$ =λ₁ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ， $\vec{A C}$ = $\vec{a}$ +λ₂ $\vec{b}$ ，λ₁ ， λ₂∈R，则A、B、C三点共线的充要条件是（）

A、λ₁=λ₂=1 B、λ₁=λ₂=﹣1 C、λ₁λ₂=1 D、λ₁λ₂=﹣1

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18. 下列四个命题：
①经过定点P₀（x₀ ， y₀）的直线都可以用方程y﹣y₀=k（x﹣x₀）表示；
②经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示；
③不经过原点的直线都可以用方程 $\frac{x}{a}$ + $\frac{y}{b}$ =1表示；
④经过任意两个不同的点P₁（x₁ ， y₁）、P₂（x₂ ， y₂）的直线都可以用方程（y﹣y₁）（x₂﹣x₁）=（x﹣x₁）（y₂﹣y₁）表示；
其中真命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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三、解答题

19. 已知平面上三个向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．

(1)、求证： $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ；

(2)、若|k $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ |＞1 （k∈R），求k的取值范围．

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20. 已知关于x，y的方程组（*） ${\begin{matrix} x + m y + 6 = 0 \\ (m - 2) x + 3 y = - 2 m \end{matrix}$ ；

(1)、写出方程组（*）的增广矩阵；

(2)、解方程组（*），并对解的情况进行讨论．

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21. 已知△ABC的三个顶点A（m，n）、B（2，1）、C（﹣2，3）；

(1)、求BC边所在直线的方程；

(2)、BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6=0，且S_△_ABC=7，求点A的坐标．

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22. 已知点A（0，2），B（4，6）， $\vec{O M}$ =t₁ $\vec{O A}$ +t₂ $\vec{A B}$ ，其中t₁、t₂为实数；

(1)、若点M在第二或第三象限，且t₁=2，求t₂的取值范围；

(2)、求证：当t₁=1时，不论t₂为何值，A、B、M三点共线；

(3)、若t₁=a² ， $\vec{O M}$ ⊥ $\vec{A B}$ ，且△ABM的面积为12，求a和t₂的值．

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23. 如图，已知直线l₁：kx+y=0和直线l₂：kx+y+b=0（b＞0），射线OC的一个法向量为 $\vec{n_{3}}$ =（﹣k，1），点O为坐标原点，且k≥0，直线l₁和l₂之间的距离为2，点A、B分别是直线l₁、l₂上的动点，P（4，2），PM⊥l₁于点M，PN⊥OC于点N；

(1)、若k=1，求|OM|+|ON|的值；

(2)、若| $\vec{P A} + \vec{P B}$ |=8，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值；

(3)、若k=0，AB⊥l₂ ，且Q（﹣4，﹣4），试求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值．

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