2016-2017学年湖南省益阳市桃江四中高二上学期期中数学试卷（理科）（b卷）

试卷更新日期：2017-02-20 类型：期中考试

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一、选择题

1. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=3，A=60°，b= $\sqrt{6}$ ，则B=（）

A、45° B、30° C、60° D、135°

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2. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．

A、2 B、3 C、5 D、6

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3. 已知 $\frac{1}{a}$ ＜ $\frac{1}{b}$ ＜0，则下列结论错误的是（）

A、a²＜b² B、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ C、ab＞b² D、lga²＜lgab

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4. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₅、S₄、S₆成等差数列．则数列{a_n}的公比为q的值等于（）

A、﹣2或1 B、﹣1或2 C、﹣2 D、1

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5. 已知不等式ax²+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx²﹣5x+a＞0的解集是（）

A、{x|x＜﹣3或x＞﹣2} B、{x|x＜﹣ $\frac{1}{2}$ 或x＞﹣ $\frac{1}{3}$ } C、{x|﹣ $\frac{1}{2}$ ＜x＜﹣ $\frac{1}{3}$ } D、{x|﹣3＜x＜﹣2}

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6. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、 $\frac{2}{3}$

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7. 如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）

A、100米 B、50 $\sqrt{3}$ 米 C、50 $\sqrt{2}$ 米 D、50（ $\sqrt{3}$ +1）米

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8. 在等差数列{a_n}中，若a₂+2a₆+a₁₀=120，则a₃+a₉等于（）

A、30 B、40 C、60 D、80

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9. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos² $\frac{A}{2}$ = $\frac{b + c}{2 b}$ ，则△ABC的形状为（）

A、等边三角形 B、等腰直角三角形 C、等腰或直角三角形 D、直角三角形

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10. 数列{a_n}是等差数列，若 $\frac{a_{11}}{a_{10}}$ ＜﹣1，且它的前n项和S_n有最大值，那么当S_n取的最小正值时，n=（）

A、11 B、17 C、19 D、21

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11. 已知向量 $\vec{a}$ =（3，﹣2）， $\vec{b}$ =（x，y﹣1）且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，若x，y均为正数，则 $\frac{3}{x}$ + $\frac{2}{y}$ 的最小值是（）

A、24 B、8 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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12. 等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n ，对一切自然数n，都有 $\frac{S_{n}}{T_{n}}$ = $\frac{2 n}{3 n + 1}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}}$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{9}{14}$ C、 $\frac{20}{31}$ D、 $\frac{11}{17}$

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二、填空题

13. 在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=1： $\sqrt{7}$ ：3，则∠B的大小为．

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14. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₁₀：S₅=1：2，则S₁₅：S₅= ．

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15. 不等式 $2^{x^{2} + 2 x - 4} \leq \frac{1}{2}$ 的解集为．

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16. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第20行从左至右的第4个数字应是．

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三、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．

(1)、求角A；

(2)、若a= $\sqrt{7}$ ，b+c=5，求△ABC的面积．

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18. 已知等差数列{a_n}的公差d＞0，其前n项和为S_n ，若S₃=12，且2a₁ ， a₂ ， 1+a₃成等比数列．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、记b_n= $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ （n∈N*），且数列{b_n}的前n项和为T_n ，证明： $\frac{1}{4}$ ≤T_n＜ $\frac{1}{4}$ ．

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19. 已知函数f（x）=x²+3x+a

(1)、当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集

(2)、若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

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20. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a﹣c= $\frac{\sqrt{6}}{6}$ b，sinB= $\sqrt{6}$ sinC．

(1)、求cosA的值；

(2)、求cos（A+ $\frac{π}{6}$ ）的值．

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21. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

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22. 已知数列{a_n}满足a_n=3a_n_﹣₁+3ⁿ﹣1（n∈N*，n≥2）且a₃=95．

(1)、求a₁ ， a₂的值；

(2)、求实数t，使得b_n= $\frac{1}{3^{n}}$ （a_n+t）（n∈N*）且{b_n}为等差数列；

(3)、在（2）条件下求数列{a_n}的前n项和S_n ．

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