2016-2017学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-02-20 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知命题p；∀x∈R，x≥2，那么命题￢p为（）

A、∀x∈R，x≤2 B、∃x₀∈R，x₀＜2 C、∀x∈R，x≤﹣2 D、∃x₀∈R，x₀＜﹣2

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2. 已知命题p：对任意x∈R，总有2^x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）

A、p∧q B、￢p∧￢q C、￢p∧q D、p∧￢q

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3. 已知椭圆标准方程x²+ $\frac{y^{2}}{10}$ =1，则椭圆的焦点坐标为（）

A、（ $\sqrt{10}$ ，0）（﹣ $\sqrt{10}$ ，0） B、（0， $\sqrt{10}$ ），（0，﹣ $\sqrt{10}$ ） C、（0，3）（0，﹣3） D、（3，0），（﹣3，0）

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4. 已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2 $\sqrt{6}$ ，则实数x的值是（）

A、﹣3或4 B、6或2 C、3或﹣4 D、6或﹣2

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5. 已知命题p：∃x₀∈R，x₀²+ax₀+a＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A、[0，4] B、（0，4） C、（﹣∞，0）∪（4，+∞） D、（﹣∞，0]∪[4，+∞）

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6. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x²+x﹣2＞0”的（　　）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知 $\vec{A B}$ =（2，2，1）， $\vec{A C}$ =（4，5，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的是（）

A、（1，2，﹣6） B、（﹣2，1，1） C、（1，﹣2，2） D、（4，﹣2，1）

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9. 双曲线E的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y²=8x的焦点，则双曲线E的虚轴长等于（）

A、4 B、 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、4 $\sqrt{3}$

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10. 在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若 $\vec{A G}$ =2x $\vec{A B}$ +3y $\vec{B C}$ +3z $\vec{H D}$ ，则x+y+z等于（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则 $\frac{| A F |}{| B F |}$ 的值等于（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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12. 设F₁ ， F₂分别为椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）与双曲线C₂： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a₁＞0，b₁＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F₁MF₂=90°，若椭圆的离心率e= $\frac{3}{4}$ ，则双曲线C₂的离心率e₁为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{4}$

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二、填空题

13. 若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的条件

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14. 已知直线l，m的方向向量分别是 $\vec{a}$ =（1，1，0）， $\vec{b}$ =（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是

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15. 给出下列命题：
①直线l的方向向量为 $\vec{a}$ =（1，﹣1，2），直线m的方向向量 $\vec{b}$ =（2，1，﹣ $\frac{1}{2}$ ），则l与m垂直；
②直线l的方向向量 $\vec{a}$ =（0，1，﹣1），平面α的法向量 $\vec{n}$ =（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为 $\vec{n_{1}}$ =（0，1，3）， $\vec{n_{2}}$ =（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量 $\vec{n}$ =（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．
其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）

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16. 已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x²﹣ $\frac{y^{2}}{a}$ =1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a= ．

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三、解答题

17. 根据下列条件，求曲线的标准方程

(1)、a=2，一个焦点为（4，0）的双曲线的标准方程

(2)、焦点F在直线l：3x﹣2y﹣6=0上的抛物线的标准方程．

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18. 设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x²+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．

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19. 已知在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、M、N分别是BC、AE、D₁C的中点，AD=AA₁ ， AB=2AD
（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD₁A₁
（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角的余弦值．

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20. 已知点P（4，2）是直线l被椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 所截得的线段的中点，

(1)、求直线l的方程

(2)、求直线l被椭圆截得的弦长．

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21. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．

(1)、求证：AC⊥BC₁；

(2)、求证：AC₁∥平面CDB₁；

(3)、求二面角B﹣DC﹣B₁的余弦值．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+ $\sqrt{6}$ =0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k_OA•k_OB=﹣ $\frac{b^{2}}{a^{2}}$ ，求证：△AOB的面积为定值．

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