2016-2017学年河北省保定市定州市高二上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-02-20 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log₂a＞log₂b＞0”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 下列说法中正确的是（）

A、“a=1”是直线“l₁：ax+2y﹣1=0与直线l₂：x+（a+1）y+4=0平行”的充要条件 B、命题“∃x∈R，x²﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x²﹣x＞0” C、命题“若m＞0，则方程x²+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x²+x﹣m=0无实数根，则m≤0” D、若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

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3. 若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x²+ $\frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\sqrt{5}$

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4. 在平面区域 ${\begin{matrix} 0 \leq x \leq 2 \\ 0 \leq y \leq 2 \end{matrix}$ 内随机取一点，则所取的点恰好满足x+y≤ $\sqrt{2}$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 从区间[0，1]随机抽取2n个数x₁ ， x₂ ， …，x_n ， y₁ ， y₂ ， …，y_n构成n个数对（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂）…（x_n ， y_n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）

A、 $\frac{4 n}{m}$ B、 $\frac{2 n}{m}$ C、 $\frac{4 m}{n}$ D、 $\frac{2 m}{n}$

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6. 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
若y关于t的线性回归方程为 $\hat{y}$ =0.5t+a，则据此该地区2017年农村居民家庭人均纯收入约为（）

A、6.3千元 B、7.5千元 C、6.7千元 D、7.8千元

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7. 某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{300}$ C、 $\frac{1}{2500}$ D、 $\frac{1}{3000}$

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8. 设圆（x+1）²+y²=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）

A、 $\frac{4 x^{2}}{21} - \frac{4 y^{2}}{25} = 1$ B、 $\frac{4 x^{2}}{21} + \frac{4 y^{2}}{25} = 1$ C、 $\frac{4 x^{2}}{25} - \frac{4 y^{2}}{21} = 1$ D、 $\frac{4 x^{2}}{25} + \frac{4 y^{2}}{21} = 1$

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9. 若曲线y=x³的切线方程为y=kx+2，则k=（）

A、﹣1 B、1 C、﹣3 D、3

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10. 某校3名教师和3名学生共6人去北京参加学习方法研讨会，须乘坐两辆车，每车坐3人，则恰有两名教师在同一车上的概率（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{9}{20}$ D、 $\frac{2}{5}$

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11. 过双曲线x²﹣ $\frac{y^{2}}{15}$ =1的右支上一点P，分别向圆C₁：（x+4）²+y²=4和圆C₂：（x﹣4）²+y²=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|²﹣|PN|²的最小值为（）

A、10 B、13 C、16 D、19

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12. 已知A，B分别为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当 $\frac{a}{b} - \frac{1}{3 m n}$ 取最大值时，椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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二、填空题

13. 某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为的学生．

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14. 已知动圆M与圆C₁：（x+4）²+y²=2外切，与圆C₂：（x﹣4）²+y²=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．

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15. 如图所示，在长方体OABC﹣O₁A₁B₁C₁中，|OA|=2，|AB|=3，|AA₁|=3，M是OB₁与BO₁的交点，则M点的坐标是．

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16. 设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，记 $\frac{D_{1} P}{D_{1} B} = λ$ ．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是．

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三、解答题

17. 为贯彻落实教育部6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》，全面提高我市中学生的体质健康水平，培养拼搏意识和团队精神，普及足球知识和技能，市教体局决定举行春季校园足球联赛．为迎接此次联赛，甲中学选拔了20名学生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，记录入如表：（设ξ为随机变量）
身高（cm）
168
174
175
176
178
182
185
188
人数
1
2
4
3
5
1
3
1

(1)、请计算这20名学生的身高的中位数、众数，并补充完成下面的茎叶图；

(2)、身高为185cm和188cm的四名学生分别记为A，B，C，D，现从这四名学生选2名担任正副门将，请利用列举法列出所有可能情况，并求学生A入选门将的概率．

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18. 设命题p：函数f（x）=lg（ax²﹣x+ $\frac{1}{16}$ a）定义域为R；命题q：不等式3^x﹣9^x＜a对任意x∈R恒成立．

(1)、如果p是真命题，求实数a的取值范围；

(2)、如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

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19. 在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB= $\frac{1}{2}$ AC=2 $\sqrt{3}$ ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

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20. 已知点A（0，﹣2），椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

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21. 如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且 $F D = \sqrt{3}$ ．

(1)、若∠BCD=60°，求证：BC⊥EF；

(2)、若∠CBA=60°，求直线AF与平面FBE所成角的正弦值．

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22. 如图，已知抛物线C：y²=4x，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．
（Ⅰ）若线段AB的长为5，求直线l的方程；
（Ⅱ）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

身高（cm）	168	174	175	176	178	182	185	188
人数	1	2	4	3	5	1	3	1