2017高考数学备考复习（文科）专题十五：数系的扩充与复数的引入

试卷更新日期：2017-02-17 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 复数 $\frac{1 + i}{1 + 2 i}$ （i为虚数单位）＝( )

A、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$

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2. 已知x，y∈R，i为虚数单位，且 $(x - 2) i - y = - 1 + i$ ，则(1＋i)^x^＋y的值为（）

A、4 B、－4 C、4＋4i D、2i

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3. 设i为虚数单位,若复数 $z = (m^{2} + 2 m - 3) + (m - 1) i$ 是纯虚数,则实数m=（）

A、-3 B、-3或1 C、3或-1 D、1

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4. 已知 $\frac{{(1 - i)}^{2}}{z}$ =1+i(i为虚数单位），则复数z=（）

A、1+i B、1-i C、-1+i D、-1-i

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5. 若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i，则a=（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 1．若集合 $A = \{i . i^{2} . i^{3} . i^{4}\}$ （ $i$ 是虚数单位）， $B = \{1 . - 1\}$ ，则 $A \cap B$ 等于 ( )

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{1 . - 1\}$ D、 $\emptyset$

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7. 已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=（）

A、-2-i B、-2+i C、2-i D、2+i

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8. 设z₁ ， z₂ $\in$ C，，则“z₁ ， z₂中至少有一个数是虚数”是“z₁-z₂是虚数”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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9. 已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）²=（　　）

A、3+4i B、5+4i C、3﹣4i D、5﹣4i

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10. 设i是虚数单位， $\bar{z}$ 是复数z的共轭复数，若（z• $\bar{z}$ ）i+2=2z，则z=（　　）

A、1+i B、1﹣i C、﹣1+i D、﹣1﹣i

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11. 设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（　　）

A、﹣3 B、﹣2 C、2 D、3

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13. 已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　）

A、（﹣3，1） B、（﹣1，3） C、（1，+∞） D、（﹣∞，﹣3）

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14. 如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）

A、A B、B C、C D、D

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15. $\frac{{(1 + i)}^{3}}{{(1 - i)}^{2}}$ =（）

A、1+i B、1﹣i C、﹣1+i D、﹣1﹣i

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16. 设复数z₁ ， z₂在复平面内的对应点关于虚轴对称，z₁=2+i，则z₁z₂=（）

A、﹣5 B、5 C、﹣4+i D、﹣4﹣i

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17. 设复数z= $\frac{7 + i}{1 - i}$ ，则|z|=（）

A、5 B、10 C、25 D、100

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18. 已知复数 $\frac{2 - a i}{i} = 1 + b i$ ，其中 $a ， b \in R$ ， $i$ 是虚数单位，则 $| a + b i | =$ （）

A、-1-3i B、 $\sqrt{5}$ C、10 D、 $\sqrt{10}$

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二、填空题

19. $i$ 是虚数单位，若复数 $(1 - 2 i) (a + i)$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为。

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20. 已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=

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21.
设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=。

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22. 设a，b∈R，a+bi= $\frac{11 - 7 i}{1 - 2 i}$ （i为虚数单位），则a+b的值为．

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23. 已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi= ．

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24. 若复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i} + m \cdot \frac{1 - i}{1 + i}$ （i为虚数单位）为实数，则实数m= ．

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三、综合题

25. 已知复数z=lg（m²﹣2m﹣2）+（m²+3m+2）i，根据以下条件分别求实数m的值或范围．

(1)、z是纯虚数；

(2)、z对应的点在复平面的第二象限．

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26. 已知复数z满足|z|= $\sqrt{2}$ ，z²的虚部为2．

(1)、求z；

(2)、设z，z² ， z﹣z²在复平面对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

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27. 实数m为何值时，复数Z=（m²+5m+6）+（m²﹣2m﹣15）i对应的点在：

(1)、实轴上；

(2)、在第一象限；

(3)、直线x+y+5=0上．

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