2017高考数学备考复习（文科）专题十四：推理与证明

试卷更新日期：2017-02-17 类型：一轮复习

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一、单选题

1.
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A、289 B、1024 C、1225 D、1378

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2. 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）

A、假设a，b，c都是偶数 B、假设a，b，c都不是偶数 C、假设a，b，c至多有一个是偶数 D、假设a，b，c至多有两个是偶数

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3. 观察式子： $1 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$ ， $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}$ ， $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{7}{4}$ ，……则可归纳出式子（ $n \geq 2$ ）（）

A、 $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2 n + 1}{2 n - 1}$ B、 $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2 n - 1}{2 n}$ C、 $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2 n - 1}{n}$ D、 $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2 n + 1}{n}$

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4. 下列表述正确的是（）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A、①②③； B、②③④； C、②④⑤； D、①③⑤。

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5. 一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是( )

A、1025 B、1035 C、1045 D、1055

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6. 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）

A、乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B、乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C、乙盒中红球不多于丙盒中红球 D、乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

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7. 已知 $\sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ =2 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\sqrt{3 + \frac{3}{8}}$ =3 $\sqrt{\frac{3}{8}}$ ， $\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$ =4 $\sqrt{\frac{4}{15}}$ ， …，若 $\sqrt{7 + \frac{a}{b}} = 7 \sqrt{\frac{a}{b}}$ （a，b∈R），则（　　）

A、a=7，b=35 B、a=7，b=48 C、a=6，b=35 D、a=6，b=48

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8. 用数学归纳法证明1+2+3+…+n²= $\frac{n^{4} + n^{2}}{2}$ ，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）

A、k²+1 B、（k+1）² C、 $\frac{{(k + 1)}^{4} + {(k + 1)}^{2}}{2}$ D、（k²+1）+（k²+2）+（k²+3）+…+（k+1）²

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9. 在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3•…•（2n﹣1）（n∈N^*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（）

A、2k+1 B、2（2k+1） C、 $\frac{2 k + 1}{k + 1}$ D、 $\frac{2 k + 3}{k + 1}$

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10. 因为对数函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）是增函数，而y=log $\frac{1}{2}$ x是对数函数，所以y=log $\frac{1}{2}$ x是增函数，上面的推理错误的是（　　）

A、大前提 B、小前提 C、推理形式 D、以上都是

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11. 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）

A、2人 B、3人 C、4人 D、5人

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12. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x³+ax﹣b=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）

A、方程x³+ax﹣b=0没有实根 B、方程x³+ax﹣b=0至多有一个实根 C、方程x³+ax﹣b=0至多有两个实根 D、方程x³+ax﹣b=0恰好有两个实根

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13. “因为指数函数y=a^x是增函数（大前提），而y=（ $\frac{1}{3}$ ）^x是指数函数（小前提），所以y=（ $\frac{1}{3}$ ）^x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）

A、大前提错导致结论错 B、小前提错导致结论错 C、推理形式错导致结论错 D、大前提和小前提错都导致结论错

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14. 把正奇数数列{2n﹣1}的各项从小到大依次排成如下三角形状数表记M（s，t）表示该表中第s行的第t个数，则表中的奇数2007对应于．（）

A、M（45，14） B、M（45，24） C、M（46，14） D、M（46，15）

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15. 用数学归纳法证明1²+2²+…+（n﹣1）²+n²+（n﹣1）²+…+2²+1²═ $\frac{n (2 n^{2} + 1)}{3}$ 时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）

A、（k+1）²+2k² B、（k+1）²+k² C、（k+1）² D、 $\frac{1}{3} (k + 1) [2 {(k + 1)}^{2} + 1]$

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16. 如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（15，2）表示为（）

A、 $\frac{29}{42}$ B、 $\frac{7}{10}$ C、 $\frac{17}{24}$ D、 $\frac{73}{102}$

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二、填空题

17. 观察下列等式：
1－ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$
1－ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$
1－ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ - $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{6}$
…………
据此规律，第n个等式可为 .

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18. 补足下面用分析法证明基本不等式 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq a b$ 的步骤：
要证明 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq a b$ ，
只需证明a²＋b²≥2ab ，
只需证，
只需证.
由于显然成立，因此原不等式成立.

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19. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是和．

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20. 有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x₀）=0，那么x=x₀是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x³的极值点．”以上推理中
（1）大前提错误
（2）小前提错误
（3）推理形式正确
（4）结论正确
你认为正确的序号为

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21.
如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n）；
①f（3）=；
②f（n）= ．

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三、综合题

22. 设 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ，证明

(1)、 $a + b = \geq 2$

(2)、 $a^{2} + a < 2$ 与 $b^{2} + b < 2$ 不可能同时成立

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23. 设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：

(1)、若ab $>$ cd，则 $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ $>$ $\sqrt{c}$ + $\sqrt{d}$ ；

(2)、 $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ $>$ $\sqrt{c}$ + $\sqrt{d}$ 是|a-b| $<$ |c-d|的充要条件

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24. 已知集合X={1，2，3}，Y_n={1,2,3...,n}(n $\in$ N*)，Sn={(a,b)|a整除b或b整除a， a $\in$ X, b $\in$ Y_n}, 令f(n)表示集合S_n所包含元素的个数。

(1)、写出f（6）的值；

(2)、当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.

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25. 已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n﹣2．

(1)、求a₁ ， a₂ ， a₃并由此猜想a_n的通项公式；

(2)、用数学归纳法证明{a_n}的通项公式．

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26. 已知函数f（x）=﹣x³+ax在（﹣1，0）上是增函数．

(1)、求实数a的取值范围A；

(2)、当a为A中最小值时，定义数列{a_n}满足：a₁∈（﹣1，0），且2a_n+1=f（a_n），用数学归纳法证明a_n∈（﹣1，0），并判断a_n+1与a_n的大小．

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