2016-2017学年山东省日照市高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-02-16 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则tan（α+ $\frac{π}{2}$ ）的值是（）

A、2 B、﹣2 C、 $\frac{1}{2}$ D、- $\frac{1}{2}$

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2. 函数f（x）=lg（1﹣x²），集合A={x|y=f（x）}，B={y|y=f（x）}，则如图中阴影部分表示的集合为（）

A、[﹣1，0] B、（﹣1，0） C、（﹣∞，﹣1）∪[0，1） D、（﹣∞，﹣1]∪（0，1）

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3. 设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若a₁+a₃+a₅=3，则S₅=（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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4. 若sin（ $\frac{π}{6}$ ﹣α）= $\frac{1}{3}$ ，则2cos²（ $\frac{π}{6}$ + $\frac{α}{2}$ ）﹣1=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、- $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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5. 已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下x，f（x）的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f（x）
123.56
21.45
﹣7.82
11.57
﹣53.76
﹣126.49
函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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6. 若0＜x＜y＜1，则（）

A、3^y＜3^x B、log_x3＜log_y3 C、log₄x＞log₄y D、（ $\frac{1}{4}$ ）^x＞（ $\frac{1}{4}$ ）^y

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7. 下列说法正确的是（）

A、“x²+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件 B、“若am²＜bm² ，则a＜b”的逆否命题为真命题 C、命题“∃x∈R，使得2x²﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有2x²﹣1＞0” D、命题“若x= $\frac{π}{4}$ ，则tanx=1”的逆命题为真命题

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8. 如图， $\vec{A B}$ =2 $\vec{B C} ， \vec{O A}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{O B}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{O C}$ = $\vec{c}$ ，则下列等式中成立的是（）

A、 $\vec{c}$ =3 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ B、 $\vec{c}$ =3 $\vec{b}$ ﹣ $\vec{a}$ C、 $\vec{c}$ = $\frac{3}{2}$ $\vec{b}$ ﹣ $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ D、 $\vec{c}$ = $\frac{3}{2}$ $\vec{a}$ ﹣ $\frac{1}{2}$ $\vec{b}$

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9. 设向量 $\vec{a}$ =（a₁ ， a₂）， $\vec{b}$ =（b₁ ， b₂），定义一种向量运算 $\vec{a}$ ⊗ $\vec{b}$ =（a₁b₁ ， a₂b₂），已知向量 $\vec{m}$ =（2， $\frac{1}{2}$ ）， $\vec{n}$ =（ $\frac{π}{3}$ ，0），点P（x′，y′）在y=sinx的图象上运动．点Q（x，y）是函数y=f（x）图象上的动点，且满足 $\vec{O Q} = m \otimes \vec{O P}$ +n（其中O为坐标原点），则函数y=f（x）的值域是（）

A、[﹣ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ] B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ C、[﹣1，1] D、（﹣1，1）

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10. 若关于x的不等式e^x﹣（a+1）x﹣b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，则（a+1）b的最大值为（）

A、e+1 B、e+ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{e}{2}$ D、 $\frac{e}{4}$

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二、填空题

11. 设向量 $\vec{a}$ =（x，1）， $\vec{b}$ =（4，x），且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 方向相反，则x的值是

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12. 若函数f（x）= ${\begin{matrix} 2^{x} ， (x \geq 4) \\ f (x + 3) ， (x < 4) \end{matrix}$ ，则f（log₂3）= ．

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13. 若关于x的不等式x²+（a﹣1）x+1＜0有解，则实数a的取值范围是．

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14. 已知变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 y + 4 \leq 0 \\ y \geq 2 \\ x - 4 y + k \geq 0 \end{matrix}$ ，且目标函数z=3x+y的最小值为﹣1，则实常数k=

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15. 如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，依此规律，则A（15，2）= ．

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三、解答题

16. 已知命题p：函数y=log_0.5（x²+2x+a）的值域R，命题q：函数y=x^2a^﹣⁵在（0，+∞）上是减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

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17. 已知函数f（x）=cos（x+

\frac{π}{6}

）+sinx．

（I）利用“五点法”，列表并画出f（x）在[﹣ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{5 π}{3}$ ]上的图象；

（II）a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边．若a= $\sqrt{3}$ ，f（A）= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，b=1，求△ABC的面积．


x
f（x）

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18. 已知函数y=f（x），若在定义域内存在x₀ ，使得f（﹣x₀）=﹣f（x₀）成立，则称x₀为函数f（x）的局部对称点．
（I）若a∈R且a≠0，求函数f（x）=ax²+x﹣a的“局部对称点”；
（II）若函数f（x）=4^x﹣m•2^x⁺¹+m²﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．

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19. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S_n= $\frac{1}{2}$ na_n+a_n﹣c（c是常数，n∈N^*），a₂=6．
（Ⅰ）求c的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n= $\frac{a_{n} - 2}{2^{n + 1}}$ ，数列{b_n}的前n项和为T_n ，若2T_n＞m﹣2对n∈N^*恒成立，求最大正整数m的值．

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20. 某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的AB，DC）和两个半圆构成，设AB=xm，且x≥80．

(1)、若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？

(2)、若景观带的内圈所围成区域的面积为 $\frac{22500}{π}$ m² ，则x取何值时，内圈周长最小？

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21. 已知函数h（x）=ax³﹣1（a∈R），g（x）=lnx，f（x）=h（x）+3xg（x）（e为自然对数的底数）．
（I）若f（x）图象过点（1，﹣1），求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）在区间（ $\frac{1}{e}$ ，e）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；
（III）函数F（x）=（a﹣ $\frac{1}{3}$ ）x³+ $\frac{1}{2}$ x²g（a）﹣h（x）﹣1，当a＞e $^{\frac{10}{3}}$ 时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．

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x	1	2	3	4	5	6
f（x）	123.56	21.45	﹣7.82	11.57	﹣53.76	﹣126.49