2016-2017学年山东省德州市高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-02-16 类型：期中考试

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一、选择题

1. A={x|x是小于9的质数}，B={x|x是小于9的正奇数}，则A∩B的子集个数是（）

A、32 B、16 C、8 D、4

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2. 不等式x²﹣2|x|﹣3＜0的解集是（）

A、（﹣3，3） B、（﹣3，1） C、（﹣3，0）∪（0，3） D、（﹣1，0）∪（0，1）

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3. 已知 $\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，x∈（0，π），则tanx=（）

A、- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、- $\sqrt{3}$

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4. 已知命题 $p ； x \neq \frac{π}{6} + 2 k π ， k \in z$ ；命题 $q ： \sin x \neq \frac{1}{2}$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，m）， $\vec{b}$ =（3，﹣2），且（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{b}$ ，则m=（）

A、﹣8 B、﹣6 C、6 D、8

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6. 为了得到 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 函数的图象，只需把y=3sinx上所有的点（）

A、先把横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，然后向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左右移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、先把横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，然后向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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7. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 1 - \log_{2} x$ ，若x₀是方程f（x）=0的根，则x₀∈（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2} ， 2)$

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8. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，目标函数z=x²+y²的最小值为（）

A、13 B、 $\sqrt{13}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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9. 设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当x∈[﹣2，0]时， $f (x) = 2 - {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log_a（x+2）=0（0＜a＜1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{4})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{4} ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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10. 已知f（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜f'（x），则不等式 $e^{- x} f (x^{2} + x) > e^{x^{2} - 2}$ f（2）的解集是（）

A、（﹣∞，2）∪（1，+∞） B、（﹣2，1） C、（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D、（﹣1，2）

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二、填空题

11. 已知f（x）的定义域为[﹣1，1]，则函数 $g (x) = \frac{1}{\ln (x + 1)} + f (2 x)$ 的定义域为．

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12. 设函数f（x）对x≠0的实数满足 $f (x) - 2 f (\frac{1}{x}) = - 3 x + 2$ ，那么 $\int_{1}^{2} f (x) d x$ = ．

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13. 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足 $\vec{C D} = \frac{2}{3} \vec{C B}$ ，则 $\vec{C E} \cdot \vec{A D}$ = ．

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14. 若正数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $\frac{2}{a - 1} + \frac{1}{b - 2}$ 的最小值为

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15. 定义：f₁（x）=f（x），当n≥2且x∈N^*时，f_n（x）=f（f_n_﹣₁（x）），对于函数f（x）定义域内的x₀ ，若正在正整数n是使得f_n（x₀）=x₀成立的最小正整数，则称n是点x₀的最小正周期，x₀称为f（x）的n～周期点，已知定义在[0，1]上的函数f（x）的图象如图，对于函数f（x），下列说法正确的是（写出所有正确命题的编号）
①1是f（x）的一个3～周期点；
②3是点 $\frac{1}{2}$ 的最小正周期；
③对于任意正整数n，都有f_n（ $\frac{2}{3}$ ）= $\frac{2}{3}$ ；
④若x₀∈（ $\frac{1}{2}$ ，1]，则x₀是f（x）的一个2～周期点．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = \sin ω x \cdot \cos ω x - \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，角A是锐角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．

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17. 已知命题p：函数f（x）=lg（ax²﹣ax+1）的定义域是R；命题 $q ：幂函数 y = x^{(1 - a^{2})}$ 在第一象限为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．

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18. 已知函数f（x）= $\frac{1}{3} x^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 m (m + 2) x + 1$ ，其中m为实数．
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为3x+3y﹣4=0，求m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

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19. 如图，扇形AOB所在圆的半径是1，弧AB的中点为C，动点M，N分别在OA，OB上运动，且满足OM=BN，∠AOB=120°．
（Ⅰ）设 $\vec{O A} = a ， \vec{O B} = b$ ，若 $\vec{O M} = \frac{3}{4} \vec{O A}$ ，用a，b表示 $\vec{C M} ， \vec{C N}$ ；
（Ⅱ）求 $\vec{C M} \cdot \vec{C N}$ 的取值范围．

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20. 某工艺品厂要设计一个如图Ⅰ所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图Ⅱ所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图Ⅰ的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后AB'交DC于点P，设△ADP的面积为
S₂ ，折叠后重合部分△ACP的面积为S₁ ．
（Ⅰ）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（Ⅱ）求面积S₂最大时，应怎样设计材料的长和宽？
（Ⅲ）求面积（S₁+2S₂）最大时，应怎样设计材料的长和宽？

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21. 已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e < {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}$ （其中n∈N^* ， e为自然对数的底数）．

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