2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-02-16 类型：期中考试

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一、选择题

1. 下列命题正确的是（）

A、若a＞b，则ac²＞bc² B、若a＞﹣b，则﹣a＞b C、若ac＞bc，则a＞b D、若a＞b，则a﹣c＞b﹣c

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2. 不等式﹣x²+3x+4＜0的解集为（）

A、{x|﹣1＜x＜4} B、{x|x＞4或x＜﹣1} C、{x|x＞1或x＜﹣4} D、{x|﹣4＜x＜1}

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3. 在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（）

A、4 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{5}$ C、4 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{22}{3}$

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4. 在等差数列{a_n}中，已知a₅=21，则a₄+a₅+a₆等于（）

A、15 B、33 C、51 D、63

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5. 已知点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）

A、a＞0 B、a＜﹣7 C、﹣7＜a＜0 D、a＞0或a＜﹣7

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6. 等比数列a_n中，a₁=2，q=2，S_n=126，则n=（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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7. 若a＞1，则 $a + \frac{1}{a - 1}$ 的最小值是（）

A、2 B、a C、3 D、 $\frac{2 \sqrt{a}}{a - 1}$

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8. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a²﹣c²+b²=ab，则角C等于（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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9. 设x，y满足 ${\begin{matrix} 2 x + y \geq 4 \\ x - y \geq - 1 \\ x - 2 y \leq 2 \end{matrix}$ ，则z=x+y（）

A、有最小值2，最大值3 B、有最小值2，无最大值 C、有最大值3，无最小值 D、既无最小值，也无最大值

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10. 设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（　　）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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11. 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
①对任意a∈R，a*0=a；
②对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
则函数f（x）=（e^x）* $\frac{1}{e^{x}}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、6 D、8

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12. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（　　）

A、90° B、120° C、135° D、150°

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二、填空题

13. 在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2 $\sqrt{3}$ ，则∠B= ．

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14. 某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2ⁿ颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是．

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15. 函数f（x）=log₂（x²﹣x+a）在[2，+∞）上恒为正，则a的取值范围是

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16. 已知x＞0，y＞0，x+y=1，则 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为

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三、解答题

17. 解答题。

(1)、S_n为等差数列{a_n}的前n项和，S₂=S₆ ， a₄=1，求a₅ ．

(2)、在等比数列{a_n}中，若a₄﹣a₂=24，a₂+a₃=6，求首项a₁和公比q．

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18. 解关于x的不等式：（x﹣1）（x+a）＞0．

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19. 在△ABC中，cosA=﹣ $\frac{5}{13}$ ，cosB= $\frac{3}{5}$ ，

(1)、求sinA，sinB，sinC的值

(2)、设BC=5，求△ABC的面积．

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20. 已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁₀=15，且a₃、a₄、a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n= $\frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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21. 某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．
（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？

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22. 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

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