2017高考数学备考复习（文科）专题十七：坐标系与参数方程

试卷更新日期：2017-02-15 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 在极坐标系中，点 $(2 ， \frac{2π}{3})$ 到圆 $ρ = 2 \cos θ$ 的圆心的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{4 + \frac{π^{2}}{9}}$ C、 $\sqrt{1 + \frac{π^{2}}{9}}$ D、 $\sqrt{7}$

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2. 点M的直角坐标是 $(- 1 ， \sqrt{3})$ ，则点M的极坐标为（）

A、 $(2 ， \frac{π}{3})$ B、 $(2 ， - \frac{π}{3})$ C、 $(2 ， \frac{2 π}{3})$ D、 $(2 ， 2 k π + \frac{π}{3}) ， (k \in Z)$

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3. 曲线的极坐标方程 $ρ = 4 \sin θ$ 化为直角坐标方程为（）

A、 $x^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ B、 $x^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ C、 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ D、 $(x + 2)^{2} + y^{2} = 4$

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4. 曲线C： $\{\begin{matrix} x = \cos θ - 1 \\ y = \sin θ + 1 \end{matrix}$ ，（ $θ$ 为参数）的普通方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

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5. 极坐标方程 $ρ = \cos θ$ 和参数方程 $\{\begin{matrix} x = - 1 - t \\ y = 2 + 3 t \end{matrix}$ （t为参数）所表示的图形分别是( )

A、圆、直线 B、直线、圆 C、圆、圆 D、直线、直线

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6. 参数方程 $\{\begin{matrix} x = t - 1 \\ y = t + 2 \end{matrix}$ （t为参数）的曲线与坐标轴的交点坐标为（）

A、（1，0），（0，-2） B、（0，1），（-1，0） C、（0，-1），（1，0） D、（0，3），（-3，0）

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7. 设曲线 C 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = 2 + 3 \cos θ \\ y = - 1 + 3 \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），直线 l 的方程为x-3y+2=0 ，则曲线 C 上到直线 l 距离为 $\frac{7 \sqrt{10}}{10}$ 的点的个数为 ( )

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 过点M（2，1）作曲线C：（ $θ$ 为参数）的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线的方程为（）

A、 $y - 1 = - \frac{1}{2} (x - 2)$ B、 $y - 1 = - 2 (x - 2)$ C、 $y - 2 = - \frac{1}{2} (x - 1)$ D、 $y - 2 = - 2 (x - 1)$

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9. 直线 $\{\begin{matrix} x = 1 - \frac{1}{2} t \\ y = - 3 \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数）和圆x² +y²=16 交于A，B 两点，则 AB 的中点坐标为（）

A、（3，-3） B、（- $\sqrt{3}$ ， 3） C、（ $\sqrt{3}$ ， -3） D、（3，- $\sqrt{3}$ ）

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10. 参数方程 $\{\begin{matrix} x = |\cos \frac{θ}{2} + \sin \frac{θ}{2}| \\ y = \frac{1}{2} (1 + \sin θ) \end{matrix}$ (0≤θ＜2π)表示( )

A、双曲线的一支，这支过点（1， $\frac{1}{2}$ ） B、抛物线的一部分，这部分过点（1， $\frac{1}{2}$ ） C、双曲线的一支，这支过点（1，- $\frac{1}{2}$ ） D、抛物线的一部分，这部分过点（1，- $\frac{1}{2}$ ）

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11. 已知某条曲线的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (a + \frac{1}{a}) \\ y = \frac{1}{2} (a - \frac{1}{a}) \end{matrix}$ (其中a是参数)，则该曲线是( )

A、线段 B、圆 C、圆的一部分 D、双曲线

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12.
在极坐标系中，圆 $ρ = 2 \cos θ$ 与方程 $θ = \frac{π}{4}$ （ $ρ > 0$ ）所表示的图形的交点的极坐标是( )．

A、 $(1, 1)$ B、 C、 D、

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13.
下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（　　）

A、ρ=6+5cosθ B、ρ=6+5sinθ C、ρ=6﹣5cosθ D、ρ=6﹣5sinθ

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14. 极坐标方程（ρ﹣3）（θ﹣ $\frac{π}{2}$ ）=0（ρ≥0）表示的图形是（）

A、两个圆 B、一条直线和一条射线 C、两条直线 D、一个圆和一条射线

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15. 若点P为曲线 ${\begin{matrix} x = 1 + \cos θ \\ y = 1 + \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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16. 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = t + 1 \\ y = t - 3 \end{matrix}$ （t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、2 $\sqrt{14}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{2}$

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二、填空题

17. 已知直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 1 + t \end{matrix}$ ( $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $c$ 的极坐标方程为 $p^{2} \cos 2 θ = 4 (p > 0, \frac{3 π}{4} < θ < \frac{5 π}{4}),$ 则直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点的极坐标为。

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18. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 \sin θ$ ，则曲线C的直角坐标方程为 .

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19. 若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为

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20. 若P为曲线 $\{\begin{matrix} x = s e c α \\ y = \tan α \end{matrix}$ （α为参数）上的动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是

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21. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线 ${\begin{matrix} x = t^{2} \\ y = t^{3} \end{matrix}$ （t为参数）相交于A，B两点，则|AB|= ．

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三、综合题

22. 已知在直角坐标系 xOy 中，圆锥曲线 C 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = 2 \cos θ \\ y = \sqrt{3} \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），定点 $A (0 ， - \sqrt{3})$ ， F₁ ， F₂ 是圆锥曲线 C 的左，右焦点．

(1)、以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点 F₁且平行于直线AF₂ 的直线 l 的极坐标方程；

(2)、在（1）的条件下，设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E，F 两点，求弦 EF 的长．

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23. 根据点的极坐标和直角坐标的互化，解决下列问题

(1)、把点A的极坐标 $(2 ， \frac{7 π}{6})$ 化成直角坐标；

(2)、把点P的直角坐标(1，－)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)

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24. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0， $\frac{π}{2}$ ]

(1)、求C的参数方程；

(2)、设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y= $\sqrt{3}$ x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．

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25. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t \cos \frac{8 π}{3} \\ y = - 4 + t \sin \frac{8 π}{3} \end{matrix}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ²﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．

(1)、写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；

(2)、设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．

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26. 将圆x²+y²=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．

(1)、写出C的参数方程；

(2)、设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P₁ ， P₂ ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

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