2016-2017学年山西省忻州十中高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-02-14 类型：期中考试

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一、选择题

1. A= ${(x ， y) | y \leq \sqrt{4 - x^{2}} ， y \geq 0}$ ，B={（x，y）|x+y≥2}，则A∩B所对应区域面积为（）

A、2π B、π﹣2 C、π D、π+2

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2. 直线x+ $\sqrt{3}$ y﹣1=0的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3. 给出下列四个命题：
①平行于同一直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两条直线平行；
③垂直于同一直线的两条直线平行；
④垂直于同一平面的两条直线平行．
其中正确命题的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知圆C₁：（x﹣a）²+（y+2）²=4与圆C₂：（x+b）²+（y+2）²=1相外切，则ab的最大值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、2 $\sqrt{3}$

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6. 直线kx﹣y+k=0与圆x²+y²﹣2x=0有公共点，则实数k的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [\frac{\sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ C、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ D、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3} ， + \infty)$

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7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A、 $2 + \sqrt{5}$ B、 $4 + \sqrt{5}$ C、 $2 + 2 \sqrt{5}$ D、5

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8. 如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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9. 一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）²+（y﹣2）²=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A、﹣ $\frac{5}{3}$ 或﹣ $\frac{3}{5}$ B、﹣ $\frac{3}{2}$ 或﹣ $\frac{2}{3}$ C、﹣ $\frac{5}{4}$ 或﹣ $\frac{4}{5}$ D、﹣ $\frac{4}{3}$ 或﹣ $\frac{3}{4}$

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10. 如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱线长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则下列结论中错误的是（）

A、AC⊥BE B、EF∥平面ABCD C、三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D、异面直线AE，BF所成的角为定值

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11. 已知圆的方程为x²+y²﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）

A、10 $\sqrt{6}$ B、20 $\sqrt{6}$ C、30 $\sqrt{6}$ D、40 $\sqrt{6}$

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12. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、二.填空题

13. 已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a= ．

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14. 若实数x，y满足方程x²+y²﹣4x+1=0，则 $\frac{y}{x + 1}$ 的最大值为，最小值为．

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15. 在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．

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16. 设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x²+y²=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为．

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三、三.解答题

17. 已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求出直线l的方程：

(1)、l在x轴、y轴上的截距之和等于0；

(2)、l与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为16．

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18. 如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，AC=BC，D、E、F分别为棱AB，BC，A₁C₁的中点．

(1)、证明：EF∥平面A₁CD；

(2)、证明：平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁ ．

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19. 已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为 $s_{n} = (n \in N^{*})$ ，若S₃=a₄+2，且a₁ ， a₃ ， a₁₃成等比数列

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和为T_n ．

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20. 已知平面区域 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + 2 y - 4 \leq 0 \end{matrix}$ 恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）²+（y﹣b）²=r²及其内部所覆盖．

(1)、试求圆C的方程．

(2)、若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．

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21. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD= $\frac{π}{2}$ ，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A₁BE的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）若平面A₁BE⊥平面BCDE，求平面A₁BC与平面A₁CD夹角的余弦值．

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22. 圆C满足：①圆心C在射线y=2x（x＞0）上；
②与x轴相切；
③被直线y=x+2截得的线段长为 $\sqrt{14}$

(1)、求圆C的方程；

(2)、过直线x+y+3=0上一点P作圆C的切线，设切点为E、F，求四边形PECF面积的最小值，并求此时 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的值．

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