2017高考数学备考复习（理科）专题二十一：数系的扩充与复数的引入

试卷更新日期：2017-02-14 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 复数 $\frac{1 + i}{1 + 2 i}$ （i为虚数单位）＝( )

A、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$

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2. 已知x，y∈R，i为虚数单位，且 $(x - 2) i - y = - 1 + i$ ，则(1＋i)^x^＋y的值为（）

A、4 B、－4 C、4＋4i D、2i

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3. 设i为虚数单位,若复数 $z = (m^{2} + 2 m - 3) + (m - 1) i$ 是纯虚数,则实数m=（）

A、-3 B、-3或1 C、3或-1 D、1

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4. 若复数 $Z$ 满足 $\frac{\bar{Z}}{1 - i} = i$ ，其中 $i$ 为虚数为单位，则 $Z$ =（）

A、1- $i$ B、1+ $i$ C、-1- $i$ D、-1+ $i$

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5. 1．若集合 $A = \{i . i^{2} . i^{3} . i^{4}\}$ （ $i$ 是虚数单位）， $B = \{1 . - 1\}$ ，则 $A \cap B$ 等于 ( )

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{1 . - 1\}$ D、 $\emptyset$

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6. 设z₁ ， z₂ $\in$ C，，则“z₁ ， z₂中至少有一个数是虚数”是“z₁-z₂是虚数”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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7. 已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）²=（　　）

A、3+4i B、5+4i C、3﹣4i D、5﹣4i

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8. 已知复数z₁=2+i，z₂=1+2i，则z= $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 在复平面内所对应的点位于（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9. 设i是虚数单位， $\bar{z}$ 是复数z的共轭复数，若（z• $\bar{z}$ ）i+2=2z，则z=（　　）

A、1+i B、1﹣i C、﹣1+i D、﹣1﹣i

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10. 设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（　　）

A、﹣3 B、﹣2 C、2 D、3

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11. 设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数 $a + \frac{b}{i}$ 为纯虚数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 设z₁ ， z₂是复数，则下列命题中的假命题是（）

A、若|z₁﹣z₂|=0，则 $\bar{z_{1}}$ = $\bar{z_{2}}$ B、若z₁= $\bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}}$ =z₂ C、若|z₁|=|z₂|，则z₁• $\bar{z_{1}}$ =z₂• $\bar{z_{2}}$ D、若|z₁|=|z₂|，则z₁²=z₂²

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13. 如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）

A、A B、B C、C D、D

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14. $\frac{{(1 + i)}^{3}}{{(1 - i)}^{2}}$ =（）

A、1+i B、1﹣i C、﹣1+i D、﹣1﹣i

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15. 设复数z₁ ， z₂在复平面内的对应点关于虚轴对称，z₁=2+i，则z₁z₂=（）

A、﹣5 B、5 C、﹣4+i D、﹣4﹣i

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16. （1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，
其中正确的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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17. 已知复数 $\frac{2 - a i}{i} = 1 + b i$ ，其中 $a ， b \in R$ ， $i$ 是虚数单位，则 $| a + b i | =$ （）

A、-1-3i B、 $\sqrt{5}$ C、10 D、 $\sqrt{10}$

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18. i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则复数z的实部与虚部的和是（）

A、0 B、﹣1 C、1 D、2

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二、填空题

19. 已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=

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20. 已知复数Z满足|Z|= $\sqrt{2}$ ，Z²的虚部是2．设Z，Z² ， Z﹣Z²在复平面上的对应点分别为A，B，C，则△ABC的面积为．

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21. 设a，b∈R，a+bi= $\frac{11 - 7 i}{1 - 2 i}$ （i为虚数单位），则a+b的值为．

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22. 已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi= ．

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23. 已知虚数z=（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是．

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三、解答题

24. 已知i是虚数单位，复数z满足（z﹣2）i=﹣3﹣i．
（1）求z；
（2）若复数 $\frac{x + i}{z}$ 在复平面内对应的点在第一象限，求实数x的取值范围．

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25. 已知复数z=m（m﹣1）+（m²+2m﹣3）i，当实数m取什么值时，复数z是：
（1）零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i；（4）表示复数z对应的点在第四象限．

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四、综合题

26. 已知复数z满足|z|= $\sqrt{2}$ ，z²的虚部为2．

(1)、求z；

(2)、设z，z² ， z﹣z²在复平面对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

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27. 实数m为何值时，复数Z=（m²+5m+6）+（m²﹣2m﹣15）i对应的点在：

(1)、实轴上；

(2)、在第一象限；

(3)、直线x+y+5=0上．

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