2017高考数学备考复习（理科）专题二十：推理与证明

试卷更新日期：2017-02-14 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 用数学归纳法证明 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + . . . . . . + \frac{1}{2 n} > \frac{13}{24}$ 时，由k到k+1，不等式左端的变化是（）

A、增加 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ 项 B、增加 $\frac{1}{2 k + 1}$ 和 $\frac{1}{2 k + 2}$ 两项 C、增加 $\frac{1}{2 k + 1}$ 和 $\frac{1}{2 k + 2}$ 两项且减少 $\frac{1}{k + 1}$ 一项 D、以上结论均错

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2.
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A、289 B、1024 C、1225 D、1378

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3. 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）

A、假设a，b，c都是偶数 B、假设a，b，c都不是偶数 C、假设a，b，c至多有一个是偶数 D、假设a，b，c至多有两个是偶数

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4. 用数学归纳法证明不等式“ $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n} > \frac{13}{24} ， (n > 2)$ ”的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）

A、增加了一项 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ B、增加了两项 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)}$ C、增加了一项 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ ，又减少了一项 $\frac{1}{k + 1}$ D、增加了两项 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)}$ ，又减少了一项 $\frac{1}{k + 1}$

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5. 观察式子： $1 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$ ， $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}$ ， $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{7}{4}$ ，……则可归纳出式子（ $n \geq 2$ ）（）

A、 $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2 n + 1}{2 n - 1}$ B、 $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2 n - 1}{2 n}$ C、 $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2 n - 1}{n}$ D、 $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2 n + 1}{n}$

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6. 下列表述正确的是（）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A、①②③； B、②③④； C、②④⑤； D、①③⑤。

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7. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
① $A + B + C = 90 ° + 90 ° + C > 180 °$ ，这与三角形内角和为 $180 °$ 相矛盾， $A = B = 90 °$ 不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中有两个直角，不妨设 $A = B = 90 °$ ，
正确顺序的序号为（）

A、①②③ B、③①② C、①③② D、②③①

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8. 已知 $\sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ =2 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\sqrt{3 + \frac{3}{8}}$ =3 $\sqrt{\frac{3}{8}}$ ， $\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$ =4 $\sqrt{\frac{4}{15}}$ ， …，若 $\sqrt{7 + \frac{a}{b}} = 7 \sqrt{\frac{a}{b}}$ （a，b∈R），则（　　）

A、a=7，b=35 B、a=7，b=48 C、a=6，b=35 D、a=6，b=48

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9. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x₀）=0，那么x=x₀是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x³的极值点．以上推理中（）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、结论正确

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10. 对于数25，规定第1次操作为2³+5³=133，第2次操作为1³+3³+3³=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是（）

A、25 B、250 C、55 D、133

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11. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x³+ax﹣b=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）

A、方程x³+ax﹣b=0没有实根 B、方程x³+ax﹣b=0至多有一个实根 C、方程x³+ax﹣b=0至多有两个实根 D、方程x³+ax﹣b=0恰好有两个实根

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12. “因为指数函数y=a^x是增函数（大前提），而y=（ $\frac{1}{3}$ ）^x是指数函数（小前提），所以y=（ $\frac{1}{3}$ ）^x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）

A、大前提错导致结论错 B、小前提错导致结论错 C、推理形式错导致结论错 D、大前提和小前提错都导致结论错

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13. 用数学归纳法证明1²+2²+…+（n﹣1）²+n²+（n﹣1）²+…+2²+1²═ $\frac{n (2 n^{2} + 1)}{3}$ 时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）

A、（k+1）²+2k² B、（k+1）²+k² C、（k+1）² D、 $\frac{1}{3} (k + 1) [2 {(k + 1)}^{2} + 1]$

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14. 已知x＞0，由不等式x+ $\frac{1}{x}$ ≥2 $\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ =2，x+ $\frac{4}{x^{2}}$ = $\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{4}{x^{2}}$ ≥3 $\sqrt[3]{\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{x^{2}}}$ =3，…，可以推出结论：x+ $\frac{a}{x^{n}}$ ≥n+1（n∈N^*），则a=（）

A、2n B、3n C、n² D、nⁿ

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15. 如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（15，2）表示为（）

A、 $\frac{29}{42}$ B、 $\frac{7}{10}$ C、 $\frac{17}{24}$ D、 $\frac{73}{102}$

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二、填空题

16.
观察下列各式：
$C_{1}^{0} = 4^{0}$
$C_{3}^{0} + C_{3}^{1} = 4^{1}$
$C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} = 4^{2}$
$C_{7}^{0} + C_{7}^{1} + C_{7}^{2} + C_{7}^{3} = 4^{3}$
……
照此规律，当n $\in$ N时，
$C_{2 n - 1}^{0} + C_{2 n - 1}^{1} + C_{2 n - 1}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{2 n - 1}^{n - 1} =$ .

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17. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是和．

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18. 有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x₀）=0，那么x=x₀是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x³的极值点．”以上推理中
（1）大前提错误
（2）小前提错误
（3）推理形式正确
（4）结论正确
你认为正确的序号为

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19.
如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n）；
①f（3）=；
②f（n）= ．

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20. 用数学归纳法证明等式：1+a+a²+…+aⁿ⁺¹= $\frac{1 - a^{n + 2}}{1 - a}$ （a≠1，n∈N^*），验证n=1时，等式左边= ．

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三、综合题

21. 设 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ，证明

(1)、 $a + b = \geq 2$

(2)、 $a^{2} + a < 2$ 与 $b^{2} + b < 2$ 不可能同时成立

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22. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} \in N^{*}$ ， $a_{1} ⩽ 36$ ，且 $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} 2 a_{n} ， a_{n} \leq 18 \\ 2 a_{n} - 36 ， a_{n} > 18 \end{matrix}$ (n=1，2，...)．记
集合 $M = \{a_{n} | n \in N^{*}\}$ ．

(1)、（Ⅰ）若 $a_{1} = 6$ ，写出集合M的所有元素；

(2)、（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；

(3)、（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．

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23. 已知集合X={1，2，3}，Y_n={1,2,3...,n}(n $\in$ N*)，Sn={(a,b)|a整除b或b整除a， a $\in$ X, b $\in$ Y_n}, 令f(n)表示集合S_n所包含元素的个数。

(1)、写出f（6）的值；

(2)、当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.

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24. 已知函数f_n（x）= $\frac{1}{3}$ x³﹣ $\frac{1}{2}$ （n+1）x²+x（n∈N^*），数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．

(1)、求a₂ ， a₃ ， a₄；

(2)、根据（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；

(3)、求证： $\frac{1}{{(2 a_{1} - 5)}^{2}}$ + $\frac{1}{{(2 a_{2} - 5)}^{2}}$ +…+ $\frac{1}{{(2 a_{n} - 5)}^{2}}$ ＜ $\frac{3}{2}$ ．

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四、解答题

25. 用反证法证明：已知x，y∈R，且x+y＞2，则x，y中至少有一个大于1．

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