2016-2017学年江西省宜春三中高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-02-13 类型：期中考试

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一、选择题

1. 若集合M={y|y=3^x}，N={x|y= $\sqrt{1 - 3 x}$ }，则M∩N=（）

A、[0， $\frac{1}{3}$ ] B、（0， $\frac{1}{3}$ ] C、（0，+∞） D、（﹣∞， $\frac{1}{3}$ ]

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2. 下列说法正确的是（）

A、a∈R，“ $\frac{1}{a}$ ＜1”是“a＞1”的必要不充分条件 B、“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件 C、命题“∃x∈R使得x²+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x²+2x+3＞0” D、命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤ $\sqrt{2}$ ”，则￢p是真命题

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3. 已知点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是（）

A、（ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{3 π}{4}$ ）∪（π， $\frac{5 π}{4}$ ） B、（ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ ）∪（π， $\frac{5 π}{4}$ ） C、（ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{3 π}{4}$ ）∪（ $\frac{5 π}{4}$ ， $\frac{3 π}{2}$ ） D、（ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ ）∪（ $\frac{3 π}{4}$ ，π）

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4. 已知向量 $\vec{a}$ =（x， $\sqrt{3}$ ）， $\vec{b}$ =（x，﹣ $\sqrt{3}$ ），若（2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{b}$ ，则| $\vec{a}$ |=（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 设f（x）= ${\begin{matrix} \sqrt{1 - x^{2}} ， x \in [- 1 ， 1] \\ x^{2} - 1 ， x \in [1 ， 2] \end{matrix}$ ，则 $\int_{- 1}^{2}$ f（x）dx的值为（）

A、 $\frac{π}{2}$ + $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ +3 C、 $\frac{π}{4}$ + $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$ +3

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6. 已知{a_n}是等差数列，a₁₀=10，其前10项和S₁₀=70，则其公差d=（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（　　）尺布．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{16}{31}$ D、 $\frac{16}{29}$

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8. 函数y= $\sqrt{\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 1)}$ 的定义域是（）

A、[﹣ $\sqrt{2}$ ，﹣1）∪（1， $\sqrt{2}$ ] B、（﹣ $\sqrt{3}$ ，﹣1）∪（1， $\sqrt{2}$ ） C、[﹣2，﹣1）∪（1，2] D、（﹣2，﹣1）∪（1，2）

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9. 变量x、y满足条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \leq 0 \\ y \leq 1 \\ x > - 1 \end{matrix}$ ，则（x﹣2）²+y²的最小值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、5

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10. 函数y= $\frac{2 x}{\ln x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知函数y=f（x）是（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）上是单调递增的，A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（　　）

A、f（sinA）＞f（sinB） B、f（sinA）＞f（cosB） C、f（cosC）＞f（sinB） D、f（sinC）＞f（cosB）

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12. 若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $2 + \sqrt{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

13. 已知a= $\int_{0}^{\frac{π}{6}}$ cosxdx，则x（x﹣ $\frac{1}{a x}$ ）⁷的展开式中的常数项是．（用数字作答）

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14. 函数y=e^x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是．

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15. 已知函数f（x）=x³+3mx²+nx+m²在x=﹣1时有极值0，则m+n= ．

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16. 将函数f（x）= $\sqrt{2}$ sin（2x﹣ $\frac{π}{4}$ ）+1的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质．（填入所有正确性质的序号）
①最大值为 $\sqrt{2}$ ，图象关于直线x= $\frac{3 π}{4}$ 对称；
②在（﹣ $\frac{π}{2}$ ，0）上单调递增，且为偶函数；
③最小正周期为π．

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三、解答题

17. 已知p：x²﹣7x+10＜0，q：x²﹣4mx+3m²＜0，其中m＞0．

(1)、若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；

(2)、若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

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18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos² $\frac{B - C}{2}$ ﹣sinB•sinC= $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ ．

(1)、求A；

(2)、若a=4，求△ABC面积的最大值．

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19. 为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁的公务员，得到情况如表：

(1)、完成表格，并判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”，并说明理由；

(2)、现把以上频率当作概率，若从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁的男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率．

(3)、已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省女联的人数为X，求X的公布列及数学期望E（X）．
男性公务员
女性公务员
总计
有意愿生二胎
30
15
无意愿生二胎
20
25
总计
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
P（k²≥k₀）
0.050
0.010
0.001
k₀
3.841
6.635
10.828

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20. 如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．

(1)、求证：C′E⊥平面BCE；

(2)、求直线AB′与平面BEC′所成角的大小．

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21. 已知函数f（x）=ln（2ax+1）+ $\frac{x^{3}}{3}$ ﹣x²﹣2ax（a∈R）．

(1)、若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；

(2)、若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；

(3)、当a=﹣ $\frac{1}{2}$ 时，方程f（1﹣x）= $\frac{{(1 - x)}^{3}}{3} + \frac{b}{x}$ 有实根，求实数b的最大值．

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22. 已知曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + \sqrt{5} \cos α \\ y = 1 + \sqrt{5} \sin α \end{matrix}$ （α为参数），以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线C的极坐标方程

(2)、若直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，求直线l被曲线C截得的弦长．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣a|，不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

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	男性公务员	女性公务员	总计
有意愿生二胎	30	15
无意愿生二胎	20	25
总计

P（k²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828