四川省自贡市富顺县2017年首届“宏志杯”创新人才早期培养对象遴选八年级数学试卷

试卷更新日期：2018-07-27 类型：竞赛测试

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一、填空题

1. 若⊿ $A B C$ ≌⊿ $A' B' C'$ ，且 $∠ A = 35^{\circ} ， ∠ B' = 49^{\circ}$ ，则 $∠ C$ = .

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2. 等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为 $c m^{3}$ .

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3. 若 $(x - 2) (x + a) = x^{2} + b x - 2$ ，则 $a + b$ = .

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4. 已知点 $A (a ， 2) 、 B (- 3 ， b)$ 关于 $x$ 轴对称，则 $a + b$ = .

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5. 已知 $\sqrt{x - 2} + | y + 2 | = 0$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ = .

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6. 已知 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 1$ ，则简 $\frac{a + a b - b}{a - 2 a b - b}$ 的值等于 .

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7. 如图，已知 $A D = A E ， B E = C D ， ∠ 1 = ∠ 2 = 110^{\circ} ， ∠ B A C = 80^{\circ}$ ，则 $∠ C A E$ 的度数是 .

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8. 如图，在⊿ $A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $D$ 点在 $B C$ 边上， $B D = 4 ， D C = 5$ ； $A B + A D = 28$ ，则 $A D$ 等于 .

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9. $a 、 b$ 为常数，且对任何实数 $x$ 都有 $\frac{x^{2} + 3}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)} = \frac{a}{x^{2} + 1} + \frac{b}{x^{2} + 2}$ 成立，则 $b^{a}$ = .

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10. 已知⊿ $A B C$ 中， $A B = A C = 5 ， B C = 6$ ，点 $P$ 在 $B C$ 上，则点 $P$ 到另外两边的距离之和是 .

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11. 已知 $2^{x} = a ， 3^{x} = t$ ，则 $24^{x}$ = .（用含 $a ， t$ 的代数式表示）

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12. 一个等腰三角形一腰上的中线将周长分成15和9两个部分，则该三角形的底边长为 .

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13. 化简 $\frac{1}{\sqrt{3} - 2} - \sqrt{3} + 2$ 的值是 .

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14. 古希腊数学家把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”（如下图），第1个“三角形数”是1，第，2个“三角形数”是3，第3个“三角形数”是6，第4个“三角形数”是10，…… ；按此规律，第50个“三角形数”是 .

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二、解答题

15. 先化简后，再求值： $(\frac{a - 2}{a^{2} + 2 a} - \frac{a - 1}{a^{2} + 4 a + 4}) \div \frac{a - 4}{a + 2}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ .

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16. 解方程： $\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{3}{x^{2} - 4}$

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17. 如图，在⊿ $A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D 、 E 、 F$ 分别在 $A B 、 B C 、 A C$ 边上，且 $B E = C F$ ， $B D = C E$ .

(1)、求证：⊿ $D E F$ 是等腰三角形；

(2)、当 $∠ A = 40^{\circ}$ 时，求 $∠ D E F$ 的度数.

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18. 如图，已知直线 $l_{1} ： y = 2 x + 1$ ，直线 $l_{2} ： y = - x + 7$ ；直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 分别交 $x$ 轴于 $B 、 C$ 两点， $l_{1} 、 l_{2}$ 相交于点 $A$ .

(1)、求 $A 、 B 、 C$ 三点的坐标；

(2)、求⊿ $A B C$ 的面积.

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19. 已知实数 $a 、 b 、 c$ 满足 $a b c \neq 0$ 且 ${(a - c)}^{2} - 4 (b - c) (a - b) = 0$ ，求 $\frac{a + c}{b}$ 的值.

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