江苏省苏州市2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-07-25 类型：期末考试

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cap^{} B =$ ．

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2. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间 $[40 ， 80]$ 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间 $[40 ， 60)$ 内的汽车有辆.

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3. 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于．

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4. 设向量 $\vec{a} = (1 ， - 4)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， x)$ ， $\vec{c} = \vec{a} + 3 \vec{b}$ ，若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，则实数 $x$ 的值是.

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5. 如右图所示的算法流程图中，最后的输出值为．

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6. 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织布的增加量为尺．（1匹=4丈，1丈=10尺）

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7. 如图所示，在 $6 \times 4$ 的方格中，每个小正方形的边长为1，点 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），则 $\overset{⇀}{O C} \cdot \overset{⇀}{A B} =$ ．

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8. 已知角 $θ$ 的终边上的一点 $P$ 的坐标为 $(3 ， 4)$ ，则 $\frac{cos 2 θ}{1 + sin 2 θ} =$ ．

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9. 已知 $Δ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且角 $A$ ， $B$ ， $C$ 成等差数列，则 $\frac{a}{b + c} + \frac{c}{a + b}$ 的值为．

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10. 已知关于 $x$ 的方程 $| x | (x - a) = 1$ 在 $(- 2 ， + \infty)$ 上有3个相异实根，则实数 $a$ 的取值范围是．

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11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $3 a + 2 b + \frac{b}{a}$ 的最小值等于．

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12. 将关于 $x$ 的方程 $sin (x - \frac{π}{4}) = a$ （ $0 < a < 1$ ）的所有正数解从小到大排列构成数列 ${a_{n}}$ ，其 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 构成等比数列，则 $a_{1} =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (1 - 2 a) x + a^{2}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (f (x)) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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二、解答题

14. 已知 $cos α = \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $sin (\frac{π}{4} + α)$ 的值；

(2)、若 $cos (α + β) = \frac{11}{14}$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $β$ 的值.

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15. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 2 a_{3}$ ， $S_{4} = 2 a_{4} + 4$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = \frac{3 π}{4}$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ .

(1)、若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C} = 3$ ，求 $Δ A B C$ 的面积；

(2)、若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = 5$ ，求 $C D$ 的长度.

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17. 如图，长方形材料 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 4$ .点 $P$ 为材料 $A B C D$ 内部一点， $P E ⊥ A B$ 于 $E$ ， $P F ⊥ A D$ 于 $F$ ，且 $P E = 1$ ， $P F = \sqrt{3}$ . 现要在长方形材料 $A B C D$ 中裁剪出四边形材料 $A M P N$ ，满足 $∠ M P N = 150 °$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别在边 $A B$ ， $A D$ 上.

(1)、设 $∠ F P N = θ$ ，试将四边形材料 $A M P N$ 的面积表示为 $θ$ 的函数，并指明 $θ$ 的取值范围；

(2)、试确定点 $N$ 在 $A D$ 上的位置，使得四边形材料 $A M P N$ 的面积 $S$ 最小，并求出其最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} + b}$ .

(1)、当 $a = 4$ ， $b = - 2$ 时，求满足 $f (x) = 2^{x}$ 的 $x$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.
①存在 $t \in [- 1 ， 1]$ ，使得不等式 $f (t^{2} - t) < f (2 t^{2} - k)$ 有解，求实数 $k$ 的取值范围；
②若函数 $g (x)$ 满足 $f (x) \cdot [g (x) + 2] = 2^{x} - 2^{- x}$ ，若对任意 $x \in R$ 且 $x \neq 0$ ，不等式 $g (2 x) \geq m \cdot g (x) - 10$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值.

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19. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $2 S_{n} + a_{n} = 3$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足：
对于任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + a_{3} b_{n - 2} + \dots + a_{n} b_{1} = {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 3 n - 3$ 成立.
①求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；
②设数列 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，问：数列 ${c_{n}}$ 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.

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