湖南省张家界市2017-2018学年高一下学期理数期末联考A卷

试卷更新日期：2018-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 3 x + 2 < 0} ， B = {x | 2 x - 3 〉 0} ，$ 则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(- 3 ， - \frac{3}{2})$ B、 $(- 3 ， \frac{3}{2})$ C、 $(1 ， \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2} ， 2)$

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2. 在三角形 $A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 1 ， b = \sqrt{3} ，$ $B = \frac{π}{3}$ ，则角 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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3. 数列 $1 ， 3 ， 6 ， 10 ， 15 \dots \dots$ 的一个通项公式是 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{n^{2} - n + 2}{2}$ B、 $n^{2} - n$ C、 $\frac{n^{2} + n}{2}$ D、 $2 n^{2} - n$

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4. 若直线 $a$ 不平行于平面 $α$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $α$ 内的所有直线都与直线 $a$ 异面 B、 $α$ 内不存在与 $a$ 平行的直线 C、 $α$ 内的所有直线都与 $a$ 相交 D、直线 $a$ 与平面 $α$ 有公共点

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5. 直线 $2 x + 3 y - 9 = 0$ 与直线 $6 x + m y + 12 = 0$ 平行，则两直线间的距离为（）

A、 $\frac{21 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $21$ D、 $13$

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6. 下列函数中，最小值为 $2$ 的是（）

A、 $y = lg x + \frac{1}{lg x}$ B、 $y = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ C、 $y = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ D、 $y = sin x + \frac{1}{sin x} (0 < x < \frac{π}{2})$

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7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的组合体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A、 $20 π$ B、 $24 π$ C、 $28 π$ D、 $32 π$

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8. 《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益攻疾（注：从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一个月（按30天计）共织390尺布，则从第二天起每天比前一天多织（）尺布.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{16}{31}$ D、 $\frac{16}{29}$

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9. 设 $P$ 为直线 $3 x + 4 y + 3 = 0$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，则四边形 $P A C B (C$ 为圆心 $)$ 的面积的最小值为（）

A、 $1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 某海轮以每小时30海里的速度航行，在点 $A$ 测得海面上油井 $P$ 在南偏东 $60^{\circ}$ ，海轮向北航行40分钟后到达点 $B$ ，测得油井 $P$ 在南偏东 $30^{\circ}$ ，海轮改为北偏东 $60^{\circ}$ 的航向再行驶80分钟到达点 $C$ ，则 $P ， C$ 两点的距离为（）(单位：海里)

A、 $20 \sqrt{7}$ B、 $\frac{20 \sqrt{7}}{7}$ C、 $20 \sqrt{3}$ D、 $\frac{20 \sqrt{3}}{3}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2 ， a_{n + 2} = (1 + {cos}^{2} \frac{n π}{2}) a_{n} + {sin}^{2} \frac{n π}{2} ，$ 则该数列的前18项和为（）

A、 $1012$ B、 $1067$ C、 $2012$ D、 $2101$

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12. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 $A$ 原料3吨， $B$ 原料2吨，生产每吨乙产品要用 $A$ 原料1吨， $B$ 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元.若该企业在一个生产周期内消耗 $A$ 原料不超过13吨， $B$ 原料不超过18吨，该企业一个生产周期可获得的最大利润是（）(单位：万元)

A、 $12$ B、 $20$ C、 $27$ D、 $30$

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二、填空题

13. 圆 $C$ 的圆心为点 $(8 ， - 3)$ ，且经过点 $A (5 ， 1)$ ，则圆 $C$ 的方程为.

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14. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，对角线 $A C_{1}$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值为.

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15. 一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下3只羊，则牧羊人在过第1个关口前有只羊.

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16. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = 6 cos C ，$ 且 $a^{2} + b^{2} = λ c^{2}$ . 则（i） $λ =$ ；（ii） $\frac{tan C}{tan A} + \frac{tan C}{tan B} =$ .

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三、解答题

17. 已知直线 $2 x + y + 2 = 0$ 和 $a x + 4 y - 2 = 0$ 互相垂直.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求两直线的交点坐标.

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18. $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 3 ， b = 3 ， cos B = \frac{1}{3} .$

(1)、求边 $c$ 的值；

(2)、求 $cos (B - C)$ 的值.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中，公差 $d = 2 ，$ $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{4}$ 的等比中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = | 11 - \frac{1}{2} a_{n} | ，$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 某投资公司计划投资 $A ， B$ 两种金融产品，根据市场调查与预测， $A$ 产品的利润 $y_{1}$ 与投资金额 $x$ 的函数关系为 $y_{1} = 18 - \frac{180}{x + 10}$ ， $B$ 产品的利润 $y_{2}$ 与投资金额 $x$ 的函数关系为 $y_{2} = \frac{x}{5}$ （注：利润与投资金额单位：万元）.

(1)、该公司现有100万元资金，并计划全部投入 $A ， B$ 两种产品中，其中 $x$ 万元资金投入 $A$ 产品，试把 $A ， B$ 两种产品利润总和 $y$ 表示为 $x$ 的函数，并写出定义域；

(2)、怎样分配这100万元资金，才能使公司的利润总和 $y$ 获得最大？其最大利润总和为多少万元.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D ， ∠ B A D = ∠ A B C = 90^{\circ}$ .

(1)、证明： $B C //$ 平面 $P AD$ ；

(2)、若 $Δ P C D$ 的面积为 $2 \sqrt{7}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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22. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与直线 $l_{1} ： x - y - 2 \sqrt{2} = 0$ 相切.

(1)、求圆 $O$ 的方程；

(2)、求直线 $l_{2} ： 4 x - 3 y + 5 = 0$ 截圆 $O$ 所得弦 $A B$ 的长；

(3)、过点 $G (3 ， 1)$ 作两条直线与圆 $O$ 相切，切点分别为 $M ， N$ ，求直线 $M N$ 的方程.

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