湖北省黄冈市2018年春季高一文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在△ABC中，AB＝ $\sqrt{3}$ ，AC＝1，C＝60°，则B＝（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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2. 函数 $y = \frac{ln (x + 1)}{\sqrt{1 - x}}$ 定义域为（）

A、 $(- 4 ， - 1)$ B、 $(- 4 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 1]$

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3. 已知直线 $l_{1} ： (a - 1) x + (a + 1) y - 2 = 0$ 和 $l_{2} ： (a + 1) x + 2 y + 1 = 0$ 互相垂直，则a的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. ${(sin 15 ° + cos 15 °)}^{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 等比数列{a_n}中a₁＝3，a₄＝24，则a₃＋a₄＋a₅＝（）

A、33 B、72 C、84 D、189

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6. 已知 $a > b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ B、 $a + \frac{1}{a} \geq b + \frac{1}{b}$ C、 $\frac{b}{a} \geq \frac{b + 1}{a + 1}$ D、 $b - \frac{1}{b} \geq a - \frac{1}{a}$

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7. 下列命题中错误的是（）

A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

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8. 已知x ， y∈(0，＋∞)，且log₂x＋log₂y＝2，则 $\frac{1}{x}$ ＋ $\frac{1}{y}$ 的最小值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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9. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为S_n(n $\in N*$ )，当首项a₁和公差d变化时，若a₁+ a₈+ a₁₅是定值，则下列各项中为定值的是（）

A、 S₁₅ B、S₁₆ C、S₁₇ D、S₁₈

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10. 已知钝角△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ ，AB＝1，BC＝ $\sqrt{2}$ ，则AC等于（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、1

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11. 直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA₁ ，则异面直线BA₁与AC₁所成的角等于（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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12. 如图，已知A ， B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）

A、36π B、64π C、144π D、256π

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二、填空题

13. 若x ， y满足 ${\begin{matrix} x - y \leq 0 \\ x + y \leq 1 \\ x \geq 0 \end{matrix}$ 则z＝x＋2y的最大值为

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14. 在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积 $S = \sqrt{3}$ ，则三角形外接圆的半径为

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15. 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是 $c m^{3}$

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16. 已知 $a_{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2} - 1}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 .

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的三个顶点为 $A (4 ， 0)$ 、 $B (8 ， 10)$ 、 $C (0 ， 6)$ .

(1)、求过点A且平行于BC的直线方程；

(2)、求过点B且与A、C距离相等的直线方程.

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18. 已知函数 $f (x)$ ＝(sin x＋cos x)²＋cos 2x.

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = 2 (n + 1) a_{n}$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ．

(1)、求 $b_{1} ， b_{2} ， b_{3}$ ；

(2)、判断数列 ${b_{n}}$ 是否为等比数列，并说明理由；

(3)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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20. 在 $Δ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，且 $2 a cos C - c = 2 b$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{2}$ ，角B的平分线 $B D = \sqrt{3}$ ，求a的值.

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21. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 1$ ， $B C = 2$ ， $A C ⊥ B C$ ， $D ， E ， F$ 分别为棱 $A A_{1} ， A_{1} B_{1} ， A C$ 的中点．

(1)、求证： $E F$ ∥平面 $B C C_{1} B_{1}$

(2)、若异面直线 $A A_{1}$ 与 $E F$ 所成角为 $30^{\circ}$ ，求三棱锥 $C_{1} - D C B$ 的体积．

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22. 已知数列｛a_n｝的首项 $a_{1} = a$ （a是常数）， $a_{n} = 2 a_{n - 1} + n^{2} - 4 n + 2$ （ $n \in N ， n \geq 2$ ）.

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ，并判断是否存在实数a使 ${a_{n}}$ 成等差数列.若存在，求出 ${a_{n}}$ 的通项公式；若不存在，说明理由；

(2)、设 $b_{1} = b$ ， $b_{n} = a_{n} + n^{2}$ （ $n \in N ， n \geq 2$ ）， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求 $S_{n}$

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