河南省新乡市2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列给出的赋值语句中正确的是（）

A、 $a = 1 - a$ B、 $5 = x$ C、 $x = y = 2$ D、 $x + y = 3$

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2. 下列函数中，既是偶函数，又是周期函数的是（）

A、 $y = sin | x |$ B、 $y = cos (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = cos (x - π)$

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3. 在 $Δ A B C$ 中，若 $sin (A + B) = sin (A - B)$ ，则 $Δ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、形状不确定

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4. 某程序框图如图所示，则输出的 $S =$ （）

A、3 B、6 C、10 D、15

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5. $tan 112 ° + tan 23 ° - tan 112 ° tan 23 ° =$ （）

A、1 B、-1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = a sin x + b tan x - 1 (a ， b \in R)$ ，若 $f (- 2) = 2018$ ，则 $f (2) =$ （）

A、-2020 B、2019 C、-2018 D、2017

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7. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (\sqrt{3} ， 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (x ， - 2)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b})$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $x$ 与输出的 $y$ 相等，则 $x =$ （）

A、1 B、0或1或2 C、1或2 D、0或2

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9. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，为了得到 $g (x) = 2 sin 2 x$ 的图象，可以将 $f (x)$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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10. 设 $a = \sqrt{2} ({cos}^{2} 16 ° - {sin}^{2} 16 °)$ ， $b = sin 15 ° + cos 15 °$ ， $c = \sqrt{1 + cos 56 °}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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11. 向边长为1的正方形 $A B C D$ 内随机投入 $n$ 粒芝麻，假定这些芝麻全部均匀地落入该正方形中，发现有 $m$ 粒芝麻离点 $A$ 的距离不大于1，则用随机模拟的方法得到的圆周率 $π$ 的近似值为（）

A、 $\frac{2 n}{m}$ B、 $\frac{4 m}{n}$ C、 $\frac{3 m}{n}$ D、 $\frac{2 m}{n}$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6}) + 2$ ，对任意的 $a \in [1 ， 2)$ ，方程 $f (x) - a = 2 (0 \leq x < m)$ 有两个不同的实数根，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(2 ， 6]$ B、 $[2 ， 6]$ C、 $(2 ， 7]$ D、 $[2 ， 7]$

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二、填空题

13. 函数 $y = tan (\frac{π}{3} - π x)$ 的最小正周期是．

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14. 从编号为01，02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为03，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是．

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15. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $C D$ 上（不与端点重合），且 $\frac{B E}{E C} = \frac{C F}{D F}$ ，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{A F}$ 的取值范围为．

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16. 有下列命题
①已知 $α$ ， $β$ 都是第一象限角，若 $α < β$ ，则 $tan α < tan β$ ；②已知 $α$ ， $β$ 是钝角 $Δ A B C$ 中的两个锐角，则 $sin α < cos β$ ；③若 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{c}$ 是相互不互线的平面向量，则 $(\overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c}) \overset{⇀}{a} - (\overset{⇀}{c} \cdot \overset{⇀}{a}) \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{c}$ 垂直；④若 $\overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{e_{2}}$ 是平面向量的一组基底，则 $3 \overset{⇀}{e_{1}} - \overset{⇀}{e_{2}}$ ， $2 \overset{⇀}{e_{2}} - 6 \overset{⇀}{e_{1}}$ 可作为平面向量的另一组基底.其中正确的命题是（填写所有正确命题的编号）．

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三、解答题

17. 从高一年级某科月考成绩中随机抽取 $n$ 名学生的成绩，绘制如图所示的频率分布直方图，若分数在 $[70 ， 80)$ 内的人数为30.

(1)、求 $n$ ；

(2)、估计这次月考成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

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18. 设向量 $\overset{⇀}{O A} = (1 ， 2)$ ， $\overset{⇀}{O B} = (\sqrt{3} ， - 1)$ ， $\overset{⇀}{O C} = (cos θ ， sin θ) (0 < θ < \frac{π}{2})$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $| \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C} |$ ；

(2)、若 $\overset{⇀}{O A} / / \overset{⇀}{O C}$ ，且 $sin (θ - φ) = \frac{\sqrt{10}}{10} (0 < φ < \frac{π}{2})$ ，求 $cos (2 θ - φ)$ .

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19. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{B D} = 2 \overset{⇀}{D C}$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点，设 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{b}$ .

(1)、试用 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 表示 $\overset{⇀}{A D}$ ；

(2)、若 $| \overset{⇀}{a} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ，且 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，求 $| \overset{⇀}{B E} |$ .

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20. 盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.

(1)、求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；

(2)、求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.

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21. 近年来，某市实验中学校领导审时度势，深化教育教学改革，经过师生共同努力，高考成绩硕果累累，捷报频传，尤其是2017年某著名高校在全国范围内录取的大学生中就有25名来自该中学.下表为该中学近5年被录取到该著名高校的学生人数.（记2013年的年份序号为1，2014年的年份序号为2，依此类推……）
年份序号 $x$
1
2
3
4
5
录取人数 $y$
10
13
17
20
25
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 292$ .
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并估计2018年该中学被该著名高校录取的学生人数（精确到整数）；

(2)、若在第1年和第4年录取的大学生中按分层抽样法抽取6人，再从这6人中任选2人，求这2人中恰好有一位来自第1年的概率.

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22. 已知 $Δ A B C$ 的三个内角分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，且 $\sqrt{2} sin C \cdot sin (B + \frac{π}{4}) = sin A$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、已知函数 $f (B) = k (sin B + cos B) + sin B \cdot cos B$ $(k \in R)$ ，若函数 $g (x) =$ ${log}_{2} (x^{2} - 4 cos A \cdot x + 2 \sqrt{2} cos A)$ 的定义域为 $R$ ，求函数 $f (B)$ 的值域.

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年份序号 $x$	1	2	3	4	5
录取人数 $y$	10	13	17	20	25