河北省唐山市2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 < 0}$ ， $B = {x | - 1 < x < 3}$ ，则（）

A、 $A = B$ B、 $A \supseteq B$ C、 $A \subseteq B$ D、 $A \cap^{} B = \emptyset$

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2. 某校有女生1400人，男生1600人，用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则男生应抽取（）

A、14人 B、16人 C、28人 D、32人

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3. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \leq 0 \\ y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最大值为（）

A、1 B、3 C、4 D、5

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4. 某校高一学生进行测试，随机抽取20名学生的测试成绩，绘制茎叶图如图所示，则这组数据的众数和中位数分别为（）

A、86，77 B、86，78 C、77，77 D、77，78

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5. 已知 $a > b > 0$ ， $c < 0$ ， $M = \frac{c}{a}$ ， $N = \frac{c}{b}$ ，则 $M$ ， $N$ 的大小关系为（）

A、 $M > N$ B、 $M < N$ C、 $M = N$ D、不能确定

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6. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9} = 36$ ，则 $a_{3} + a_{7} =$ （）

A、4 B、8 C、12 D、16

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7. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A > ∠ B$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $sin A > sin B$ B、 $sin A < sin B$ C、 $sin A > cos B$ D、 $cos A > cos B$

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8. 如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知直角三角形较大锐角的正弦值为 $\frac{12}{13}$ ，向大正方形区域内随机地掷一点，则该点落在小正方形内的概率是（）

A、 $\frac{25}{144}$ B、 $\frac{49}{169}$ C、 $\frac{49}{144}$ D、 $\frac{144}{169}$

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9. 执行下边的程序框图，若输出的 $S$ 是121，则判断框内应填写（）

A、 $n < 3 ?$ B、 $n < 4 ?$ C、 $n > 3 ?$ D、 $n > 4 ?$

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10. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} a_{n} + a_{n + 1} - a_{n} + 1 = 0$ ，则 $a_{2018} =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、-3

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11. 如图是一个斜拉桥示意图的一部分， $A C$ 与 $B D$ 表示两条相邻的钢缆， $A$ 、 $B$ 与 $C$ 、 $D$ 分别表示钢缆在桥梁与主塔上的铆点，两条钢缆的仰角分别为 $α$ 、 $β$ ，为了便于计算，在点 $B$ 处测得 $C$ 的仰角为 $γ$ ，若 $A B = m$ ，则 $C D =$ （）

A、 $\frac{m sin α sin (α - γ)}{cos β sin (β - γ)}$ B、 $\frac{m sin α sin (β - γ)}{sin β sin (α - γ)}$ C、 $\frac{m cos α sin (β - γ)}{cos β sin (α - γ)}$ D、 $\frac{m sin α sin (β - γ)}{cos β sin (α - γ)}$

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12. ①45化为二进制数为 $101101_{(2)}$ ；②一个总体含有1000个个体（编号为0000，0001，…，0999），采用系统抽样从中抽取一个容量为50的样本，若第一个抽取的编号为0008，则第六个编号为0128；③已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为 $Δ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，其中 $a = 3$ ， $c = 4$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，则这样的三角形有两个解.以上说法正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 鞋柜内散放着两双不同的鞋，随手取出两只，恰是同一双的概率是．

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14. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $a = 255$ ， $b = 68$ ，则输出的 $a$ 是．

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15. 公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 3$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前7项和为．

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16. 实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + 2 z - 7 = 0$ ，则 $x + y + z$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{5} = 25$ ， ${b_{n} - a_{n}}$ 是等比数列， $b_{1} = 3$ ， $b_{4} = 23$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前10项和 $T_{10}$ .

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18. 市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位： $t$ ），频数分布如下：
分组
$[0 ， 0.5)$
$[0.5 ， 1)$
$[1 ， 1.5)$
$[1.5 ， 2)$
$[2 ， 2.5)$
$[2.5 ， 3)$
$[3 ， 3.5)$
$[3.5 ， 4)$
$[4 ， 4.5]$
频数
4
8
15
22
25
14
6
4
2

(1)、根据所给数据将频率分布直方图补充完整（不必说明理由）；

(2)、根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数；

(3)、根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）.

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19. $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $b = 2 a$ ，求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 1$ ， $b = 3$ ，求边 $c$ 上的高 $h$ .

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20. 某公司经营一种二手机械，对该型号机械的使用年数 $x$ 与再销售价格 $y$ （单位：百万元/台）进行统计整理，得到如下关系：
使用年数
2
4
6
8
10
再销售价格
16
13
9.5
7
5
附：参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{\cdot y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、该机械每台的收购价格为 $p = 0.05 x^{2} - 1.8 x + 17.5$ （百万元），根据（1）中所求的回归方程，预测 $x$ 为何值时，此公司销售一台该型号二手机械所获得的利润 $Q$ 最大？

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} + 3 = 3 a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot {log}_{3} a_{n + 2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $D C / / A B$ ， $D A = C B = A B = 1$ ， $D C = A C$ .

(1)、求 $D C$ ；

(2)、平面内点 $P$ 在 $D C$ 的上方，且满足 $∠ D P C = 3 ∠ A C B$ ，求 $D P + C P$ 的最大值.

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分组	$[0 ， 0.5)$	$[0.5 ， 1)$	$[1 ， 1.5)$	$[1.5 ， 2)$	$[2 ， 2.5)$	$[2.5 ， 3)$	$[3 ， 3.5)$	$[3.5 ， 4)$	$[4 ， 4.5]$
频数	4	8	15	22	25	14	6	4	2

使用年数	2	4	6	8	10
再销售价格	16	13	9.5	7	5