福建省南平市2017-2018学年高一下学期数学期末质量检测卷

试卷更新日期：2018-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} - 5 x - 6 < 0 ， x \in Z}$ ，则集合 $A$ 中含有的元素个数是（）

A、2 B、3 C、5 D、6

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2. 如果 $a > b$ ，那么下列不等式一定成立的是（）

A、 $- 2 a > - 2 b$ B、 $c - a > c - b$ C、 $a + c > b + c$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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3. 若 $sin (\frac{π}{2} - α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $cos 2 α$ 等于（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $- \frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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4. 不等式 $a x^{2} - x + c > 0$ 的解集为 ${x | - 2 < x < 1}$ ，则函数 $y = a x^{2} - x + c$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？其意思是“已知 $A ， B ， C ， D ， E$ ”五个人分重量为6钱（“钱”是古代的一种重量单位）的物品， $A ， B ， C$ 三人所得钱数之和与 $D ， E$ 二人所得钱数之和相同，且 $A ， B ， C ， D ， E$ 每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中， $C$ 分得物品的钱数是（）

A、 $\frac{2}{5}$ 钱 B、 $\frac{4}{5}$ 钱 C、 $\frac{6}{5}$ 钱 D、 $\frac{7}{5}$ 钱

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6. 若原点 $O (0 ， 0)$ 和点 $A (1 ， 1)$ 在直线 $x + y = a$ 的两侧，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup^{} (2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 ${0 ， 2}$ D、 $[0 ， 2]$

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7. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (m ， 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2 ， - 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $| 2 \overset{⇀}{a} - b |$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 若将函数 $f (x) = 2 sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，则平移后图象的一条对称轴为（）

A、 $x = \frac{π}{6}$ B、 $x = - \frac{π}{6}$ C、 $x = - \frac{π}{12}$ D、 $x = \frac{π}{12}$

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9. 如图是函数 $f (x) = 2 sin (ω x + ϕ) (ω > 0 ， | ϕ | \leq \frac{π}{2})$ 的部分图象，已知函数图象经过 $P (\frac{5 π}{12} ， 2) ， Q (\frac{7 π}{6} ， 0)$ 两点，则 $ϕ =$ （）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 (n \geq 1)$ ，则该数列的通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $2^{n + 1} - 2$ B、 $3^{n} - 1$ C、 $2^{n} - 3$ D、 $4^{n} - 2$

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11. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 2 ， ∠ C = \frac{π}{3}$ ，则 $A C + B C$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 已知函数 $f (n) = n^{2} sin (\frac{2 n - 3}{2} π)$ ，且 $a_{n} = f (n)$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{200} =$ （）

A、20100 B、20500 C、40100 D、10050

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{2} tan \frac{π}{3} cos 2 x$ 的最小正周期为.

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14. 设实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 4 x + 3 y \leq 12 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y + 2}{x + 1}$ 的取值范围是.

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15. 矩形 $A B C D$ 的两条对角线交于点 $O$ ，已知点 $E$ 为线段 $A O$ 的中点，若 $\overset{⇀}{D E} = M \overset{⇀}{A B} + n \overset{⇀}{A D}$ ，其中 $m ， n$ 为实数，则 $m + n$ 的值为.

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16. 函数 $f (x) = x + \frac{8}{2 x - 1} - m$ ，若 $x \in (1 ， + \infty)$ 时有 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 设函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} x + \sqrt{3} sin 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{4} ， 0]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

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18. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (2 a + 1) x + 2$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ ；

(2)、若 $a > 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ .

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19. 已知 $a ， b ， c$ 为的三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，向量 $\overset{⇀}{m} = (1 ， 2 sin B)$ ， $\overset{⇀}{n} = (1 + sin B ， 1 + 2 {sin}^{2} B)$ ，且 $\overset{⇀}{m} / / \overset{⇀}{n}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3} ， b = 2$ ，求 $c$ 的值及 $Δ A B C$ 的面积.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + a_{n} - 2 = 0$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = {log}_{\frac{1}{2}} \frac{a_{n}}{4}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 是前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 某种商品，原来定价每件 $p$ 元，每月能卖出 $n$ 件.若定价上涨 $p (1 + \frac{x}{10})$ 元，且 $0 < x \leq 10$ ，则每月卖出数量将减少 $n (1 - \frac{y}{10})$ 件，且 $1 - \frac{y}{10} > 0$ ，而售货金额变成原来的 $m$ 倍.

(1)、若 $y = \frac{2}{3} x$ ，求使 $m > 1$ 时， $x$ 的取值范围；

(2)、设 $y = a x$ ，其中 $a$ 为常数，且 $\frac{1}{3} \leq a < 1$ ，用 $a$ 来表示当售货金额最大时的 $x$ 值.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n - 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、令 $c_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n} + a_{n + 1}}$ ，问是否存在正整数 $m ， k (1 < m < k)$ 使得 $c_{1} ， c_{m} ， c_{k}$ 成等差数列？若存在，求出 $m ， k$ 的值，若不存在，请说明理由.

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