2017高考数学备考复习（理科）专题十四：圆锥曲线与方程

试卷更新日期：2017-02-10 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，弦AB过 $F_{1}$ ，若 $△ A B F_{2}$ 的内切圆周长为 $π$ ， A，B两点的坐标分别为 $(x_{1} ， y_{1})$ 和 $(x_{2} ， y_{2})$ ，则 $|y_{2} - y_{1}|$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，则它的渐近线的方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3}{5} x$ B、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{5}{4} x$

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4.
如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F₁ ， F₂ ，若|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5} - 2$

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5. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线方程为（　　）

A、y=± $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x B、y=± $\sqrt{3}$ x C、y=± $\frac{1}{2}$ x D、y=±x

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6. 抛物线 $y^{2} = 12 x$ 的准线与双曲线^{$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$}的两条渐近线所围成的三角形面积等于（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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7. 过双曲线 x²- $\frac{y^{2}}{3}$ =1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、6 D、4 $\sqrt{3}$

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8. 已知A，B，P是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k_PA•k_PB= $\frac{2}{3}$ ，则该双曲线的离心率为(　　)

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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9. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所在平面上的一个动点，且M到平面 $A D D_{1} A_{1}$ 的距离是M到直线BC距离的2倍，则动点M的轨迹为（）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆

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10.
如图， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线的左、右两个分支分别交于点 $A$ 、 $B$ ，若 $△ A B F_{2}$ 为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $\sqrt{7}$

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11. 椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的弦被点 $(4 ， 2)$ 平分，则此弦所在的直线方程是（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $x + 2 y = 4$ C、 $2 x + 3 y = 14$ D、 $x + 2 y = 8$

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12. 若双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 点P在双曲线E上，且 $|P F_{1}|$ =3，则 $|P F_{2}|$ 等于（　）

A、11 B、9 C、5 D、3

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13. 已知抛物线y²=2px(p>0)的准线经过点（-1，1），则抛物线焦点坐标为（）

A、（-1，0） B、（1，0） C、（0，-1） D、（0，1）

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14. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为 $\frac{3}{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、4 C、3 D、2

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16. 已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ ， E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|= ( )

A、3 B、6 C、9 D、12

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17. 已知O为坐标原点，F是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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18. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 $\frac{1}{4}$ ，则该椭圆的离心率为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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19. 已知双曲线与椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点重合，它们的离心率之和为 $\frac{14}{5}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{5}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{3}{5} x$ D、y= $\pm \sqrt{3} x$

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，与双曲线x²﹣y²=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8}$ + $\frac{y^{2}}{2}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{12}$ + $\frac{y^{2}}{6}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{16}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{20}$ + $\frac{y^{2}}{5}$ =1

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二、填空题

21. 若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是 $(2 \sqrt{15}, 0)$ ，则椭圆的标准方程是

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22.
如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．

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23. 平面直角坐标系xOy中，双曲线C_{1： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$}的渐近线与抛物线 $C_{2 ：} ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于点 $O ， A ， B$ ，若 $△ O A B$ 的垂心为 $C_{2}$ 的焦点，则 $C_{1}$ 的离心率为 .

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24.
一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x²=2y，y∈[0，10]，在杯内放入一个清洁球，要求清洁球能擦净酒杯的最底部（如图），则清洁球的最大半径为

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25. 设F为抛物线C：y²=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．

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三、综合题

26. 已知抛物线C：y²=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l₁ ， l₂分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

(1)、若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

(2)、若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

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27. 设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；

(1)、若∠BFD=90°，△ABD的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求p的值及圆F的方程；

(2)、若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

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28. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ =1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ b．

(1)、求椭圆C的离心率；

(2)、设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．

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29. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．

(1)、若直线AP与BP的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求椭圆的离心率；

(2)、若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞ $\sqrt{3}$ ．

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30. 已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足| $\vec{M A}$ + $\vec{M B}$ |= $\vec{O M}$ •（ $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ ）+2．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、动点Q（x₀ ， y₀）（﹣2＜x₀＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．

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31. 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为 $\frac{3}{4}$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

(3)、若点M的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，直线l：y=kx+ $\frac{1}{4}$ 与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当 $\frac{1}{2}$ ≤k≤2时，|AB|²+|DE|²的最小值．

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32. 如图，抛物线C₁：x²=4y，C₂：x²=﹣2py（p＞0），点M（x₀ ， y₀）在抛物线C₂上，过M作C₁的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x₀=1﹣ $\sqrt{2}$ 时，切线MA的斜率为﹣ $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求P的值；

(2)、当M在C₂上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．

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