2017高考数学备考复习（理科）专题十二：空间向量与立体几何

试卷更新日期：2017-02-10 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（　　）

A、2 B、-4 C、4 D、-2

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2. 已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为 $∆ A B C$ 的中心，则AB₁与底面ABC所成角的正弦值等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90^{°}$ ，侧棱 $A A_{1} = 2$ ， D，E分别是 $C C_{1}$ 与 $A_{1} B$ 的中点，点E在平面ABD上的射影是 $A B D$ 的重心G．则 $A_{1} B$ 与平面ABD所成角的余弦值（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{7}$

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4. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱， $A B C - A_{1} B_{1} C_{1} ， C A = C C_{1} = 2 C B$ ，则直线 $B C_{1}$ 与直线 $A B_{1}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5.
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D的平面角为 $\frac{π}{4}$ 时，AE＝(　　)

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2－ $\sqrt{2}$ D、2－ $\sqrt{3}$

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6.
如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B B_{1} = B C = 1$ ，则二面角 $B_{1} - A C - B$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7.
已知E，F分别是正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（）
①若 $m / / n ， n \subset α$ ，则 $m / / α$ ； ②若 $l ⊥ α ， m ⊥ β$ 且 $l ⊥ m$ 则 $α ⊥ β$
③ 若 $l ⊥ n ， m ⊥ n$ 则 $l / / m$ ④若 $α ⊥ β ， α \cap β = m ， n \subset β ， n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ α$

A、1 B、2 C、3 D、4

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9.
如图，平面ABCD $⊥$ 平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且 $A F = \frac{1}{2} A D = a$ ， G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（　　　）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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10. 如图，斜线段AB与平面 $α$ 所成的角为60 $°$ ， B为斜足，平面 $α$ 上的动点P满足 $∠$ PAB=30 $°$ ，则点P的轨迹是（）

A、直线 B、抛物线 C、椭圆 D、双曲线的一支

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11.
如图，设正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则直线B₁C与平面AB₁D₁所成的角是（　　）

A、 $\frac{π}{2}$ B、arccos $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、arccos $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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12. 若直线l的方向向量为 $\vec{a}$ ，平面α的法向量为 $\vec{n}$ ，能使l∥α的是（　　）

A、 $\vec{a}$ =（1，0，0）， $\vec{n}$ =（﹣2，0，0） B、 $\vec{a}$ =（1，3，5）， $\vec{n}$ =（1，0，1） C、 $\vec{a}$ =（0，2，1）， $\vec{n}$ =（﹣1，0，﹣1） D、 $\vec{a}$ =（1，﹣1，3）， $\vec{n}$ =（0，3，1）

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13.
如图所示的长方体中，AB=2 $\sqrt{6}$ ，AD= $\sqrt{5}$ ， $C C_{1}$ = $2 \sqrt{3}$ ，E、F分别为 $A A_{1} ， A_{1} B_{1}$ 的中点，则异面直线DE、BF所成角的大小为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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二、填空题

14. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，1，0）， $\vec{b}$ =（﹣1，0，2），且k $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 与2 $\vec{a}$ - $\vec{b}$ 互相垂直，则k值是

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15.
如图，正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的各棱长相等，点D是棱CC₁的中点，则AA₁与面ABD所成角的大小是

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16. 已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C A}$ 的夹角θ的大小是

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17. 已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（﹣1，0，﹣1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是

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18. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BC﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ABC是等边三角形；
③AB与CD所成的角90°；④二面角A﹣BC﹣D的平面角正切值是 $\sqrt{2}$ ；
其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）

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三、解答题

19.
如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，若PA=AD=3，CD= $\sqrt{6}$
①求证：AF∥平面PCE
②求证：平面PCE⊥平面PCD
③求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．

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20.
如图，在四棱锥A-EFCB中， $△ A E F$ 为等边三角形，平面AEF $⊥$ 平面EFCB， $E F ∥ B C$ ，

$B C = 4$ ， $E F = 2$ ， $∠ E B C = ∠ F C B = 60 °$ ， O为EF的中点．

（Ⅰ）求证： $A O ⊥ B E$ ；

（Ⅱ）求二面角F-AE-B的余弦值；

（Ⅲ）若BE $⊥$ 平面AOC，求a的值．

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21.
如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.

(Ⅰ)求证：BE//平面ADE ；

(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

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22.
如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．

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四、综合题

23. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2．

(1)、求证：A₁C⊥平面BCDE；

(2)、若M是A₁D的中点，求CM与平面A₁BE所成角的大小；

(3)、线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直？说明理由．

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24. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．

(1)、证明：PC⊥AD；

(2)、求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；

(3)、设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

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25. 在边长是2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，A₁C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

(1)、求EF的长

(2)、证明：EF∥平面AA₁D₁D；

(3)、证明：EF⊥平面A₁CD．

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