2017高考数学备考复习（理科）专题十一：立体几何

试卷更新日期：2017-02-10 类型：一轮复习

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一、单选题

1.
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、3 $π$ B、4 $π$ C、2 $π$ +4 D、3 $π$ +4

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2.
某工作的三视图如图所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（）（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）

A、 $\frac{8}{9π}$ B、 $\frac{8}{27 π}$ C、 $\frac{24 (\sqrt{2} - 1)^{2}}{π}$ D、 $\frac{8 (\sqrt{2} - 1)^{2}}{π}$

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3.

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则AC₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角的正弦值为

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4.
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁ ， CA=CC₁=2CB，则直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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5. 设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面 $α$ 去截此四棱锥，使得截面是平行四边形，则这样的平面 $α$ （）

A、不存在 B、有且只有1个 C、恰好有4个 D、有无数多个

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6.
正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E ， F$ ，且 $E F = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则下列结论中错误的是( )

A、 $A C ⊥ B E$ B、A₁C⊥平面AEF C、三棱锥A-BEF的体积为定值 D、异面直线 $A E ， B F$ 所成角为定值

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7.
下列四个正方体图形中， $A ， B$ 为正方体的两个顶点， $M ， N ， P$ 分别为其所在棱的中点，能得出 $A B ∥$ 平面 $M N P$ 的图形的序号是(　　)

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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8.
如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论不正确的是 ( )

A、 $C_{1} D_{1} ⊥ B_{1} C$ B、 $B D_{1} ⊥ A C$ C、 $B D_{1} ∥ B_{1} C$ D、 $∠ A C B_{1} = 60 °$

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9. 设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α//β；
（2）若m $\subset$ α，n $\subset$ α， $m / / β ， n / / β$ ，则α//β；
（3）若α//β，l $\subset$ α，则l//β；
（4）若 $α \cap β = l ， β \cap γ = m ， γ \cap α = n$ ， l//γ，则m//n．
其中正确的命题是（）

A、（1）（3） B、（2）（3） C、（2）（4） D、（3）（4）

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10. 如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD= $\sqrt{2}$ ，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（）

A、A′C⊥BD B、∠BA′C=90° C、CA′与平面A′BD所成的角为30° D、四面体A′﹣BCD的体积为 $\frac{1}{3}$

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11. 已知m，n是两条不同直线， $α$ ， $β$ 是两个不同平面，则下列命题正确的是

A、若 $α$ ， $β$ 垂直于同一平面，则 $α$ 与 $β$ 平行 B、若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C、若 $α$ ， $β$ 不平行，则在 $α$ 内不存在与 $β$ 平行的直线 D、若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

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12.
PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（　　）
①面PAB⊥面PBC
②面PAB⊥面PAD
③面PAB⊥面PCD
④面PAB⊥面PAC．

A、①② B、①③ C、②③ D、②④

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13. 已知E，F分别为正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D的棱AB，AA₁上的点，且AE= $\frac{1}{2}$ AB，AF= $\frac{1}{3}$ AA₁ ， M，N分别为线段D₁E和线段C₁F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（　　）

A、1条 B、3条 C、6条 D、无数条

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14. 平面α过正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的顶点A，α∥平面CB₁D₁ ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA₁B₁=n，则m、n所成角的正弦值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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15. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）

A、m∥l B、m∥n C、n⊥l D、m⊥n

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16. 下列命题中正确的是（　　）

A、如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 B、过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直 C、平面a不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面β D、若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线

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二、填空题

17.
一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V=

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18. 一圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线AB长为20cm，其中A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为 cm．

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19.
如图所示，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，则EF和AB所成的角为

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20. 给出下列命题：
①三点确定一个平面；
②在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；
③若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；
④若直线a、b、c满足a⊥b、a⊥c，则b∥c．
其中正确命题的个数是．

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21.
如图，在直四棱柱A₁B₁C₁D₁﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A₁C⊥B₁D₁ ．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）

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三、解答题

22.
如图，三棱台 $D E F$ - $A B C$ 中， $A B$ $=$ $2$ $D E$ 分别为 $A C$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证： $B D$ $/ /$ 平面 $F G H$ ；

(2)、若 $C F$ $⊥$ $B C$ ， $A B$ $⊥$ $B C$ ，求证：平面 $B C D$ $⊥$ $E G H$ 。

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23.
如图，圆锥的顶点为P，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点. 已知PO=2，OA=1，求三棱锥P-AOC的体积，并求异面直线PA与OE所成角的大小.

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24.
在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2．
证明DF⊥平面ABE；

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25.
平面图形ABB₁A₁C₁C如图1所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC= $\sqrt{2}$ ，A₁B₁=A₁C₁= $\sqrt{5}$ ．现将该平面图形分别沿BC和B₁C₁折叠，使△ABC与△A₁B₁C₁所在平面都与平面BB₁C₁C垂直，再分别连接A₂A，A₂B，A₂C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
（Ⅰ）证明：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求AA₁的长；
（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A₁的余弦值．

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26.
如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A﹣B₁E﹣A₁的大小为30°，求AB的长．

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