2017高考数学备考复习（理科）专题八：平面向量

试卷更新日期：2017-02-10 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线， $\overset{⇀}{A B} = (2 ， 4) ， \overset{⇀}{A C} = (1 ， 3)$ ，则 $\overset{⇀}{B D} =$ （）

A、（－2，－4） B、（－3，－5） C、（3，5） D、（2，4）

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则 $\vec{A D} =$ （　　）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ 　　 B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ 　 C、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ 　　 D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$

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3. 已知点 $A (6 ， 2)$ ， $B (1 ， 14)$ ，则与 $\vec{A B}$ 共线的单位向量为（）

A、 $(\frac{12}{13} ， - \frac{5}{13})$ 或 $(- \frac{12}{13} ， \frac{5}{13})$ B、 $(\frac{5}{13} ， - \frac{12}{13})$ C、 $(- \frac{5}{13} ， \frac{12}{13})$ 或 $(\frac{5}{13} ， - \frac{12}{13})$ D、 $(- \frac{5}{13} ， \frac{12}{13})$

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4. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点不共线，点 $O$ 为平面 $A B C$ 外的一点，则下列条件中，能得出 $M \in$ 平面 $A B C$ 的条件是（）

A、 $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ B、 $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{O A} - \frac{1}{3} \vec{O B} + \vec{O C}$ C、 $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ D、 $\vec{O M} = 2 \vec{O A} - \vec{O B} - \vec{O C}$

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5. 对于向量a，b，e及实数x，y，x₁ ， x₂ ， $λ$ ，给出下列四个条件：
① $a + b = 3 e$ 且 $a - b = 5 e$ ； ② $x_{1} a + x_{2} b = 0$
③ $a = λ b (b \neq 0)$ 且 $λ$ 唯一； ④ $x a + y b = 0 (x + y = 0)$
其中能使a与b共线的是 ( )

A、①② B、②④ C、①③ D、③④

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6. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 均为单位向量，它们的夹角为 $60^{°}$ ，那么 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C ，}$ $\vec{A B}$ = $\frac{1}{t}$ ， $\vec{A C}$ =t若P 点是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{A P}$ = $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|}$ + $\frac{4 \vec{A C}}{|\vec{A C}|}$ ，则 $\vec{P B}$ · $\vec{P C}$ 的最大值等于（）

A、13 B、15 C、19 D、21

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8. 已知向量 $\vec{a}$ =（﹣4，3），点A（﹣1，1）和B（0，﹣1）在 $\vec{a}$ 上的射影分别为A₁和B₁ ，若 $\vec{A_{1} B_{1}}$ = $λ$ $\vec{a}$ ，则λ的值是（　　）

A、 $\frac{2}{5}$ B、- $\frac{2}{5}$ C、2 D、-2

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9. 设 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 是不共线的非零向量，且k $\vec{e_{1}}$ + $\vec{e_{2}}$ 与 $\vec{e_{1}}$ +k $\vec{e_{2}}$ 共线，则k的值是（　　）

A、1 B、-1 C、±1 D、任意不为零的实数

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10. 设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且| $\vec{A B}$ |=2| $\vec{A P}$ |，则点P的坐标为（　　）

A、（3，1） B、（1，﹣1） C、（3，1）或（1，﹣1） D、（3，1）或（1，1）

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11. 已知向量 $\vec{B A}$ =（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）， $\vec{B C}$ =（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ），则∠ABC=（　　）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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12. 在平面上， $\vec{A B_{1}}$ ⊥ $\vec{A B_{2}}$ ，| $\vec{O B_{1}}$ |=| $\vec{O B_{2}}$ |=1， $\vec{A P}$ = $\vec{A B_{1}}$ + $\vec{A B_{2}}$ ．若| $\vec{O P}$ |＜ $\frac{1}{2}$ ，则| $\vec{O A}$ |的取值范围是（）

A、（0， $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ] B、（ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ， $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ] C、（ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ， $\sqrt{2}$ ] D、（ $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ， $\sqrt{2}$ ]

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13. 在四边形ABCD中， $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 4 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 5 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，则四边形ABCD的形状是（）

A、长方形 B、平行四边形 C、菱形 D、梯形

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14. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（0，1）， $\vec{c}$ =（﹣2，k），若（ $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ ）∥ $\vec{c}$ ，则k=（）

A、﹣8 B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、8

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15. 在△ABC中，内角A= $\frac{π}{3}$ ，P为△ABC的外心，若 $\vec{A P}$ =λ₁ $\vec{A B}$ +2λ₂ $\vec{A C}$ ，其中λ₁与λ₂为实数，则λ₁+λ₂的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1﹣ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1+ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

16.
已知| |＝|a|＝3，| |＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝.

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17. 已知A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C D}$ 方向上的投影为

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18. 若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量，已知 $\vec{A B}$ =2 $\vec{e_{1}}$ +k $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B}$ = $\vec{e_{1}}$ +3 $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D}$ =2 $\vec{e_{1}}$ ﹣ $\vec{e_{2}}$ ，若A，B，D三点共线，则k=

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19.
如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若 $\vec{O B}$ =λ $\vec{O E}$ +μ $\vec{O F}$ （λ，μ∈R），则λ+μ=

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20. 已知向量 $\vec{a}$ =（1， $\sqrt{3}$ ）， $\vec{b}$ =（ $\sqrt{3}$ ，1），则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小为．

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三、综合题

21. 设向量 $\vec{a}$ =（cosθ，sinθ）， $\vec{b}$ =（﹣ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）；

(1)、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，且θ∈（0，π），求θ；

(2)、若|3 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ ﹣3 $\vec{b}$ |，求| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |的值．

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22. 已知在平面坐标系内，O为坐标原点，向量 $\vec{O A}$ =（1，7）， $\vec{O B}$ =（5，1）， $\vec{O P}$ =（2，1），点M为直线OP上的一个动点．

(1)、当 $\vec{M A}$ • $\vec{M B}$ 取最小值时，求向量 $\vec{O M}$ 的坐标；

(2)、在点M满足（I）的条件下，求∠AMB的余弦值．

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23. 已知 $\vec{a}$ =（cosα，sinα）， $\vec{b}$ =（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．

(1)、若| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |= $\sqrt{2}$ ，求证： $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{c}$ =（0，1），若 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{c}$ ，求α，β的值．

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24. 已知向量 $\vec{a}$ =（sinx，﹣1）， $\vec{b}$ =（2cosx，1）．

(1)、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，求tanx的值；

(2)、若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，又x∈[π，2π]，求sinx+cosx的值．

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25. 如图，A，B，C的坐标分别为（﹣ $\frac{c}{2}$ ，0），（ $\frac{c}{2}$ ，0），（m，n），G，O′，H分别为△ABC的重心，外心，垂心．

(1)、写出重心G的坐标；

(2)、求外心O′，垂心H的坐标；

(3)、求证：G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．

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26. 如图，D、E分别是△ABC的边BC的三等分点，设 $\vec{A B}$ =m， $\vec{A C}$ =n，∠BAC= $\frac{π}{3}$ ．

(1)、用 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 分别表示 $\vec{A D}$ ， $\vec{A E}$ ；

(2)、若 $\vec{A D}$ • $\vec{A E}$ =15，| $\vec{B C}$ |=3 $\sqrt{3}$ ，求△ABC的面积．

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27. 已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，满足 $\vec{O P}$ =m $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ （m为常数）．

(1)、如图，若四边形OABP为平行四边形，求m的值；

(2)、若m=2，求| $\vec{O P}$ |的取值范围．

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