2017高考数学备考复习（理科）专题七：三角恒等变换与解三角形

试卷更新日期：2017-02-09 类型：一轮复习

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一、单选题

1.
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线A₁B上存在一点P使得AP+D₁P取得最小值，则此最小值为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ C、 $2 + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

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2. 函数 $y = 3 \cos (3 x + \frac{π}{2})$ 的图象是把y=3cos3x的图象平移而得，平移方法是（）

A、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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3. 在 $△ A B C$ 中，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

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4. 设 $\tan α ， \tan β$ 是方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两个根，则 $\tan (α + β)$ 的值为（　　）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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5. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若 $A = \frac{π}{3} ， b = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则a的值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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6. $△ A B C$ 的三个内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $a \sin A \sin B + b \cos^{2} A = \sqrt{2} a$ ，则 $\frac{b}{a} =$ ( )

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 设 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α} = \frac{4}{3}$ 则 $3 \sin^{2} α - \cos^{2} α =$ （）

A、 $\frac{13}{5}$ 　　 B、 $\frac{5}{13}$ 　　 C、 $- \frac{13}{5}$ 　 D、 $- \frac{5}{13}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，若 $\sin (A - B) = 1 + 2 \cos (B + C) \sin (A + C)$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等边三角形 B、不含 $60 °$ 角的等腰三角形 C、钝角三角形 D、直角三角形

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9.
如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为1的正方形，若∠A₁AB=∠A₁AD=60º，且A₁A=3，则A₁C的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $\sqrt{17}$

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10. 已知 $△ A B C$ 的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a \vec{G A} + b \vec{G B} + \frac{\sqrt{3}}{3} c \vec{G C} = \vec{0}$ ，则角A为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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11.
如图，在倾斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的倾斜度为15°，向山顶前进100 m后，又从点B测得倾斜度为45°，假设建筑物高，设山坡对于地平面的倾斜度为，则 $\cos θ =$ ( ).

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{3} + 2$ D、 $2 \sqrt{3} + 1$

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12.
设均为锐角，且 $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}, \sin (α + β) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos β =$ ( )

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$ 或 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{25}$ 或 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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13. sin20°cos10°-cos160°sin10°=( )

A、- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、- $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

14.
已知 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，，则 $\cos 2 α =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + \frac{1}{a^{x} - 1} + \frac{3}{2}$ （a＞0，a≠1），若 $f (\sin (\frac{π}{6} - α)) = \frac{1}{3}$ （α≠kπ+ $\frac{π}{6}$ ， k∈Z ），则 $f (\cos (α - \frac{2 π}{3}))$ = ．

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16. 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A= $\frac{π}{4}$ ， a=2，bcosC﹣ccosB=2 $\sqrt{2}$ ，则∠B=

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17. 在三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则a=

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18. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ， tan(α+ $\frac{π}{4}$ )= $\frac{1}{7}$ ，则sinα+cosα=

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三、综合题

19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sqrt{2} \sin^{2} \frac{x}{2} .$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[\begin{matrix} - π & 0 \end{matrix}]$ 上的最小值．

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20. 已知α，β∈（0，π），f（a）= $\frac{3 - 2 \cos 2 α}{4 \sin α}$

(1)、用sinα表示f（α）；

(2)、若f（α）=sinβ，求α及β的值．

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21. 已知函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx．

(1)、求 $f (\frac{π}{8})$ 的值；

(2)、求函数f（x）的最小正周期和最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + \cos 2 x$

(1)、求 $f (x)$ 最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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23. 如图，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元．

(1)、设∠ADC=α，试将运输总费用S（单位：元）表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；

(2)、问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值．

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