北京市西城区2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-07-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. $M (- 1 ， 2)$ ， $N (3 ， 0)$ 两点之间的距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $5$

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2. 直线 $x - y - \sqrt{3} = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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3. 直线 $y = 2 x - 2$ 与直线 $l$ 关于 $y$ 轴对称，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $y = - 2 x + 2$ B、 $y = - 2 x - 2$ C、 $y = 2 x + 2$ D、 $y = \frac{1}{2} x - 1$

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4. 已知圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $N$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 9$ ，则两圆的位置关系是（）

A、相交 B、相离 C、内切 D、外切

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5. 设 $m$ ， $n$ 为两条不重合的直线， $α$ ， $β$ 为两个不重合的平面， $m$ ， $n$ 既不在 $α$ 内，也不在 $β$ 内，则下列结论正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n$ ， $n / / α$ ，则 $m / / α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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6. 若方程 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 5 k = 0$ 表示圆，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $R$

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7. 圆柱的侧面展示图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是（）

A、 $\frac{2}{π}$ B、 $\frac{1}{π}$ C、 $\frac{2}{π^{2}}$ D、 $\frac{1}{π^{2}}$

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8. 方程 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 表示的图形是（）

A、两个半圆 B、两个圆 C、圆 D、半圆

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9. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是梯形， $A B / / C D$ ，若平面 $P A D \cap^{}$ 平面 $P B C = l$ ，则（）

A、 $l / / C D$ B、 $l / / B C$ C、 $l$ 与直线 $A B$ 相交 D、 $l$ 与直线 $D A$ 相交

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10. 已知 $a$ ， $b$ 是异面直线，给出下列结论：
①一定存在平面 $α$ ，使直线 $b ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $a / /$ 平面 $α$ ；②一定存在平面 $α$ ，使直线 $b ∥$ 平面 $α$ ，直线 $a / /$ 平面 $α$ ；③一定存在无数个平面 $α$ ，使直线 $b$ 与平面 $α$ 交于一个定点，且直线 $a / /$ 平面 $α$ .则所有正确结论的序号为（）

A、①② B、② C、②③ D、③

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二、填空题

11. 已知点 $A (m ， - 2)$ ， $B (3 ， 0)$ ，若直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $m =$ ．

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12. 若直线 $l_{1}$ ： $a x + 2 y - 8 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x - y = 0$ 平行，则 $a =$ ．

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13. 已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为．

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14. 已知直线 $y = k x + k$ 过定点，则定点的坐标为．

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15. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $A A_{1}$ 中点，点 $P$ 在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动，当点 $P$ 满足条件时， $A_{1} P / /$ 平面 $B C D$ ．（答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中边 $A B$ 与 $x$ 轴重合， $C (2 ， 2)$ ， $D (- 1 ， 2)$ .从原点 $O$ 射出的光线 $O P$ 经 $B C$ 反射到 $C D$ 上，再经 $C D$ 反射到 $A D$ 上点 $Q$ 处.
①若 $O P$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，则点 $Q$ 的纵坐标为；
②若点 $Q$ 恰为线段 $A D$ 中点，则 $O P$ 的斜率为．

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A D = 2$ ，点 $E$ 为线段 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(3)、求三棱锥 $A - P C E$ 的体积.

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18. 已知直线 $l$ ： $y = - x + 8$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ，点 $B$ 坐标为 $(0 ， - 4)$ ，过点 $B$ 作直线 $l$ 的垂线，交直线 $l$ 于点 $C$ .记过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的圆为圆 $M$ .

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、求过点 $C$ 与圆 $M$ 相交所得弦长为8的直线方程.

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19. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $E$ 是棱 $A B$ 上的动点， $F$ 是棱 $C C_{1}$ 上一点， $C F ： F C_{1} = 1 ： 2$ .

(1)、求证： $B_{1} D_{1} ⊥ A F_{1}$ ；

(2)、若直线 $A F_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} E$ ，试确定点 $E$ 的位置，并证明你的结论；

(3)、设点 $P$ 在正方体的上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上运动，求总能使 $B P$ 与 $A_{1} F$ 垂直的点 $P$ 所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）

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