安徽省芜湖市2017-2018学年高一下学期数学期末考试A卷

试卷更新日期：2018-07-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 以下程序中，输出时A的值是输入时A的值的（）

A、1倍 B、2倍 C、3倍 D、4倍

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列， $a_{1} = 1$ ，且 $4 a_{1}$ ， $2 a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等差数列，则 $a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ （）

A、7 B、12 C、14 D、64

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3. 将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（）

A、0795 B、0780 C、0810 D、0815

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4. 已知动点 $(x ， y)$ 满足 ${\begin{matrix} 2 x + y \leq 40 \\ x + 2 y \leq 50 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 5 x + 2 y$ 的最大值是（）

A、50 B、60 C、70 D、90

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5. 若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（）

A、“甲站排头”与“乙站排头” B、“甲站排头”与“乙不站排尾” C、“甲站排头”与“乙站排尾” D、“甲不站排头”与“乙不站排尾”

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6. 设 $p$ 在 $[0 ， 5]$ 上随机地取值，则关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + 1 = 0$ 有实数根的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 对于实数 $x$ ，规定 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，那么不等式 $4 {[x]}^{2} - 36 [x] + 45 < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{2} ， \frac{15}{2})$ B、 $[2 ， 8]$ C、 $[2 ， 8)$ D、 $[2 ， 7]$

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8. 网上大型汽车销售某品牌A型汽车，在2017年“双十一”期间，进行了降价促销，该型汽车的价格与月销量之间有如下关系
价格（万元）
25
23.5
22
20.5
销售量（辆）
30
33
36
39
已知A型汽车的购买量 $y$ 与价格 $x$ 符合如下线性回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + 80$ ，若A型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是（）

A、39 B、42 C、45 D、50

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9. 我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的 $S = 2$ （单位：升），则输入 $k$ 的值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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10. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 1$ ， $B = 45 °$ ，若 $Δ A B C$ 的面积 $S = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的外接圆直径为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $5$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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11. 等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 与 $T_{n}$ ，对一切自然数 $n$ ，都有 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n}{3 n + 1}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{9}{14}$ C、 $\frac{20}{31}$ D、 $\frac{11}{17}$

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12. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a^{2} + b^{2} - c^{2}) (a cos B + b cos A) = a b c$ ，若 $a + b = 2$ ，则 $c$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $[\frac{1}{2} ， 2)$ D、 $(1 ， 2]$

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二、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之和 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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14. 已知函数 $y = x + \frac{2}{x - 1}$ ， $x \in (1 ， + \infty)$ ，则 $y$ 的最小值是．

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15. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是.

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16. 在四位八进制数中，能表示的最小十进制数是．

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17. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = 2 B$ ，则 $\frac{b}{c} + {(\frac{a}{b})}^{2}$ 最小值是．

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三、解答题

18. 如图，一缉私艇在A处发现在北偏东方向 $45 °$ ，距离12 $n$ $m i l e$ 的海面C处有一走私船正以10 $n$ $m i l e / h$ 的速度沿南偏东 $75 °$ 方向逃窜.缉私艇的速度为14 $n$ $m i l e / h$ ，若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏 $(45 ° + α)$ 的方向去追，求追上走私船所需的时间和角 $α$ 的正弦值.

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19. 某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间 $[2 ， 22]$ （单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为 $[2 ， 6)$ ， $[6 ， 10)$ ， $[10 ， 14)$ ， $[14 ， 18)$ ， $[18 ， 22]$ ，并绘制出如下的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并计算完成年度任务的人数；

(2)、用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；

(3)、现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.

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20. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 8$ ， $a_{3} = 4$ .

(1)、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最大值及使得 $S_{n}$ 最大的序号 $n$ 的值；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{n (12 - a_{n})}$ （ $n \in N^{*}$ ）， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项之和，求 $T_{n}$ .

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21. 解关于 $x$ 的不等式： $a x^{2} - 2 \geq 2 x - a x$ ， $a \in R$ ．

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22. $Δ A B C$ 的三个角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ 满足 $(2 b - c) cos A = a cos C$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值．

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23. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2} = a_{n} (S_{n} - \frac{1}{2})$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2^{n}}{S_{n}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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价格（万元）	25	23.5	22	20.5
销售量（辆）	30	33	36	39