2017高考数学备考复习（理科）专题五：导数及其应用

试卷更新日期：2017-02-09 类型：一轮复习

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一、单选题

1.
如图是函数y=f（x）的导函数的图象y=f'（x），给出下列命题：

①-3是函数y=f（x）的极值点；
②-1是函数y=f（x）的最小值点；
③y=f（x）在处切线x=0的斜率小于零；
④y=f（x）在区间（-3，1)上单调递增。
则正确命题的序号是（）

A、①② B、①④ C、②③ D、③④

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2. 若函数f(x)的导函数f'(x)=x²-4x+3，则函数f(x+1)的单调递减区间是（）

A、(-3，-1) B、(0，2) C、(1，3) D、(2，4)

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3. 曲线 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ 在点 $(1 ， \frac{1}{2})$ 处的切线方程为( )

A、 $2 x + 2 y + 1 = 0$ B、 $2 x + 2 y - 1 = 0$ C、 $2 x - 2 y - 1 = 0$ D、 $2 x - 2 y - 3 = 0$

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4. 函数 $g (x) = x^{3} + m x^{2} + n x + m^{2}$ 在x=1处有极值10，则m，n的值是（）

A、m=-3，n=3 B、m=4，n=-11 C、m=-4，n=11 D、m=3，n=-3

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5. 曲线 $y = 3 x - x^{3}$ 上切点为 $P (2 ， - 2)$ 的切线方程是（）

A、 $y = - 9 x + 16$ B、 $y = 9 x - 20$ C、 $y = - 2$ D、 $y = - 9 x + 16$ 或 $y = - 2$

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6. 函数 $f (x) = \ln x + x^{2} - 3 x$ 的导函数f'(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )

A、 $\frac{3}{4} -$ 1n2 B、 $\frac{3}{2} -$ 1n2 C、 $\frac{1}{4} -$ 1n2 D、 $\frac{1}{2} -$ 1n2

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7. 已知函数f(x)=sin(2x+ $α$ )在x= $\frac{π}{12}$ 时有极大值，且f(x- $β$ )为奇函数，则 $α ， β$ 的一组可能值依次为( )

A、 $\frac{π}{6}$ ， - $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{12}$ C、 $\frac{π}{3}$ ， - $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{6}$

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8. 已知y=f(x)为R上的可导函数，当 $x \neq 0$ 时， $f' (x) + \frac{f (x)}{x} > 0$ ，则函数g(x)=f(x)+ $\frac{1}{x}$ 的零点分数为（）

A、1 B、2 C、0 D、0或2

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9. 已知函数 $f (x) = m x^{3} + 3 (m - 1) x^{2} - m^{2} + 1 (m > 0)$ 的单调递减区间是(0，4)，则m=( )

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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10. 若函数 $f (x) = 2 \sin ω x$ $(ω > 0)$ 的图像在 $(0 ， 2 π)$ 上恰有一个极大值和一个极小值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{4} ， 1]$ B、 $(1 ， \frac{5}{4}]$ C、 $(\frac{3}{4} ， \frac{4}{5}]$ D、 $(\frac{3}{4} ， \frac{5}{4}]$

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11. f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f'(x)=g'(x)，则f(c)与g(x)满足（）

A、f(x)=g(x) B、f(x)-g(x)为常数函数 C、f(x)=g(x)=0 D、f(x)+g(x)为常数函数

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12. 已知函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（1，0），f′（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数，若x＞0，xf′（x）＞1下恒成立，则不等式f（x）≤lnx的解集为（　　）

A、（0， $\frac{1}{e}$ ] B、（0，1] C、（0，e] D、（1，e]

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13. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A、函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B、函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1） C、函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2） D、函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）

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14. 已知函数 $y = \sqrt{x - 1}$ ，则它的导函数是（）

A、 $y^{'} = \frac{1}{2} \sqrt{x - 1}$ B、 $y^{'} = \frac{\sqrt{x - 1}}{2 (x - 1)}$ C、 $y^{'} = \frac{2 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ D、 $y^{'} = - \frac{\sqrt{x - 1}}{2 (x - 1)}$

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15. 函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图，则函数y=ax²+ $\frac{3}{2}$ bx+ $\frac{c}{3}$ 的单调递增区间是（）

A、（﹣∞，2] B、 $[\frac{1}{2}$ ，+∞） C、[﹣2，3] D、 $[\frac{9}{8}$ ，+∞）

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二、填空题

16. 函数 $f (x) = \frac{1 - x}{a x} + \ln x$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (1)$ .

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17. 已知a，b为正实数，函数f（x）=ax³+bx+2^x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为

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18.
已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为 $\frac{27}{4}$ ，则a的值为

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19. 已知函数f（x）=（2x+1）e^x ， f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．

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20. 若 $\int_{0}^{1}$ $(x^{2} + m x) d x = 0$ ，则实数m的值为

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21. 如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：
①﹣3是函数y=f（x）的极值点；
②﹣1是函数y=f（x）的最小值点；
③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；
④y=f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．
则正确命题的序号是．

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三、综合题

22. 设函数f（x）=ax²﹣a﹣lnx，g（x）= $\frac{1}{x} - \frac{e}{e^{x}}$ ，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、证明：当x＞1时，g（x）＞0；

(3)、确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．

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23. 已知函数f（x）=（x﹣2）e^x+a（x﹣1）²有两个零点．

(1)、求a的取值范围；

(2)、设x₁ ， x₂是f（x）的两个零点，证明：x₁+x₂＜2．

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24. 已知函数f（x）=（x﹣2）e^x+a（x﹣1）² ．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

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25. 设f（x）=xlnx﹣ax²+（2a﹣1）x，a∈R．

(1)、令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；

(2)、已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．

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26. 设函数f（x）=x³﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、若f（x）存在极值点x₀ ，且f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀ ，求证：x₁+2x₀=0；

(3)、设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$ ．

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