中考备考专题复习：阅读理解问题

1. 对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b，如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　）

2. 对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= $\frac{1}{a-b^2}$ ，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3= $\frac{1}{1-3^2}=-\frac{1}{8}$ ．则方程x⊗（﹣2）= $\frac{2}{x-4}$ ﹣1的解是（　　）

3. 设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）²﹣（a﹣b）² ， 则下列结论：

①若a@b=0，则a=0或b=0

②a@（b+c）=a@b+a@c

③不存在实数a，b，满足a@b=a²+5b²

④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．

其中正确的是（  ）

4. 定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（  ）

5. 阅读材料并解决问题：

求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁴的值，令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁴

                  等式两边同时乘以2，则2S=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵

                  两式相减：得2S﹣S=2²⁰¹⁵﹣1

                  所以，S=2²⁰¹⁵﹣1

依据以上计算方法，计算1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁵= ．

6. 自学下面材料后，解答问题．

分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：$\frac{x-2}{x+1}>0；\frac{2x+3}{x-1}<0$等．那么如何求出它们的解集呢？

根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：

（1）若a＞0，b＞0，则$\frac{a}{b}$＞0；若a＜0，b＜0，则$\frac{a}{b}$＞0；

（2）若a＞0，b＜0，则$\frac{a}{b}$＜0；若a＜0，b＞0，则$\frac{a}{b}$＜0．

反之：（1）若$\frac{a}{b}$＞0，则$\left\{\begin{array}{c}a>0\\ b>0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{c}a<0\\ b<0\end{array}\right.$

（2）$\frac{a}{b}$＜0，则____________　．

根据上述规律，求不等式$\frac{x-2}{x+1}$＞0的解集．

7. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．

斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．

斐波那契数列中的第n个数可以用$\frac{1}{\sqrt{5}}$[($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$)ⁿ﹣($\frac{1-\sqrt{5}}{2}$)ⁿ]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．

任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．

8. 先阅读下列材料，然后解答问题：
材料1　从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A₃²＝3×2＝6.
一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列数记作A_n^m ，
A_n^m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m≤n)．
例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A₅³＝5×4×3＝60.
材料2　从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C₃²＝$\frac{3\times 2}{2\times 1}$＝3.
一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作C_n^m ，
C_n^m＝ $\frac{n\left(n-1\right)\cdots n-m+1}{m\left(m-1\right)\cdots 2\times 1}$(m≤n)．
例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：
C₆³＝$\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}$＝20.
问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？
(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？

9. 定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m²n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）²×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x²﹣bx+a=0的根的情况．

10. 阅读材料：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，$\frac{a}{\sin A}$=$\frac{b}{\sin B}$=$\frac{c}{\sin C}$ ， 利用上述结论可以求解如下题目：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．

解：在△ABC中，∵$\frac{a}{\sin A}$=$\frac{b}{\sin B}$∴b=$\frac{a\sin B}{\sin A}$=$\frac{6\sin 30°}{\sin 45°}$=$\frac{6\times {\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}$=3$\sqrt{2}$ ．

理解应用：

如图，甲船以每小时30$\sqrt{2}$海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A₁处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B₁处，且乙船从B₁处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A₂时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B₂处，此时两船相距10$\sqrt{2}$海里．

11. 阅读下列材料：

2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．

2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，2013 年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．

2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9 万人次．

根据以上材料解答下列问题：

12. 阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．

计算：（1﹣$\frac{1}{2}$﹣$\frac{1}{3}$﹣$\frac{1}{4}$）×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$）﹣（1﹣$\frac{1}{2}$﹣$\frac{1}{3}$﹣$\frac{1}{4}$﹣$\frac{1}{5}$）×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$）．

令$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=t，则

原式=（1﹣t）（t+$\frac{1}{5}$）﹣（1﹣t﹣$\frac{1}{5}$）t

=t+$\frac{1}{5}$﹣t²﹣$\frac{1}{5}$t﹣$\frac{4}{5}$t+t²

=$\frac{1}{5}$

问题：

13. 阅读下列材料，并解决相关的问题．

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a₁ ， 依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a_n ．

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a₁=1，公比为q=3．

14. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组$\{\begin{array}{l}2x+5y=3 ①\\ 4x+11y=5 ②\end{array}$时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③

把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1

把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为$\left\{\begin{array}{c}x=4\\ y=-1\end{array}\right.$ ．

请你解决以下问题：

15.

阅读理解

材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．

如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC

∵E、F是AB、CD的中点

∴EF∥AD∥BC

EF= $\frac{1}{2}$（AD+BC）

材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边

如图（2）：在△ABC中：

∵E是AB的中点，EF∥BC

∴F是AC的中点

如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°

请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．

16.

我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

17. 已知点P（x₀ ， y₀）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= $\frac{\left|k{x}_0-y_0+b\right|}{\sqrt{1+k^2}}$ 计算．

例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．

解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．

所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= $\frac{\left|k{x}_0-y_0+b\right|}{\sqrt{1+k^2}}$ = $\frac{\left|3\times (-1)-2+7\right|}{\sqrt{1+k^2}}$ = $\frac{2}{\sqrt{10}}$ = $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

根据以上材料，解答下列问题：

18.

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

19.

我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

20. 阅读下列材料：

 北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．

2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%.2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业.2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位.2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．

根据以上材料解答下列问题：

21. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

tan（α±β）= $\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．

例：tan75°=tan（45°+30°）= $\frac{\tan {45}^0+\tan {30}^0}{1-\tan {45}^0\tan {30}^0}$ = $\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\times \frac{\sqrt{3}}{3}}$ =2+ $\sqrt{3}$

根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题

22. 阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．

小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．