中考备考专题复习：操作探究问题

试卷更新日期：2017-02-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1.
如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（　　）

A、6 B、3 C、2.5 D、2

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2. 用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3.
小明用计算器计算（a+b）c的值，其按键顺序和计算器显示结果如表：

这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键：
从而得到了正确结果，已知a是b的3倍，则正确的结果是（）

A、24 B、39 C、48 D、96

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4. 下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（）

A、CD⊥l B、点A，B关于直线CD对称 C、点C，D关于直线l对称 D、CD平分∠ACB

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6. 任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（　　）

A、△EGH为等腰三角形 B、△EGF为等边三角形 C、四边形EGFH为菱形 D、△EHF为等腰三角形

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7.
如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（　　）

A、25 B、33 C、34 D、50

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8.
运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（　　）

A、x≥11 B、11≤x＜23 C、11＜x≤23 D、x≤23

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9. 为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是．

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11.
如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为

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12.
下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是

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13.
对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是．

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14. 甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动 $\frac{3}{2}$ 周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动 $\frac{4}{3}$ 周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转周，时针和分针第一次相遇．

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15. 某学习小组为了探究函数y=x²﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m= ．
x
…
﹣2
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
2
0.75
0
﹣0.25
0
﹣0.25
0
m
2
…

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三、作图题

16.
由一些相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，请在网格中涂出一种该几何体的主视图，且使该主视图是轴对称图形．

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四、综合题

17.
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．

(1)、若△ABC经过平移后得到△A₁B₁C₁ ，已知点C₁的坐标为（4，0），写出顶点A₁ ， B₁的坐标；

(2)、若△ABC和△A₁B₂C₂关于原点O成中心对称图形，写出△A₁B₂C₂的各顶点的坐标；

(3)、将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A₂B₃C₃ ，写出△A₂B₃C₃的各顶点的坐标．

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18. P_n表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P_n与n的关系式是：P_n= $\frac{n (n - 1)}{24}$ •（n²﹣an+b）（其中a，b是常数，n≥4）

(1)、通过画图，可得：四边形时，P₄=　；五边形时，P₅=

(2)、请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．

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19.
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）

(1)、请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A₁B₁C₁；

(2)、以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到△A₂B₂C₂ ，请在y轴右侧画出△A₂B₂C₂ ，并求出∠A₂C₂B₂的正弦值．

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20.
已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

(1)、画出△ABC向上平移6个单位得到的△A₁B₁C₁；

(2)、以点C为位似中心，在网格中画出△A₂B₂C₂ ，使△A₂B₂C₂与△ABC位似，且△A₂B₂C₂与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A₂的坐标．

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21.
如图，在平面直角坐标系中，直角△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，1），B（0，3），C（0，1）

(1)、将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A₁B₁C₁；

(2)、分别连结AB₁、BA₁后，求四边形AB₁A₁B的面积．

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22.
如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连
接AP并延长交BC于点E，连接EF．

(1)、四边形ABEF是；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）

(2)、AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为， ∠ABC=°．（直接填写结果）

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23. 如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线．

(1)、用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；

(2)、求△ACE的面积．

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24.
如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．

(1)、AE的长等于；

(2)、若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

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25.
如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A₁B₁C₁ ．

(1)、△A₁B₁C₁与△ABC的位似比是；

(2)、画出△A₁B₁C₁关于y轴对称的△A₂B₂C₂；

(3)、设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A₂B₂C₂内的对应点P₂的坐标是．

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26.
【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．
【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x₁ ，先在直线y=kx+b上确定点（x₁ ， y₁），再在直线y=x上确定纵坐标为y₁的点（x₂ ， y₁），然后再x轴上确定对应的数x₂ ， …，以此类推．
【解决问题】研究输入实数x₁时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．

(1)、若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；

(2)、若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；

(3)、①若k=﹣ $\frac{2}{3}$ ，b=2，已在x轴上表示出x₁（如图2所示），请在x轴上表示x₂ ， x₃ ， x₄ ，并写出研究结论；
②若输入实数x₁时，运算结果x_n互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）

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27.
问题背景：
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE= $\sqrt{2}$ CD，从而得出结论：AC+BC= $\sqrt{2}$ CD．
简单应用：

(1)、在图①中，若AC= $\sqrt{2}$ ，BC=2 $\sqrt{2}$ ，则CD= ．

(2)、如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上， $\overset{\land}{A D}$ = $\overset{\land}{B D}$ ，若AB=13，BC=12，求CD的长．
拓展规律：

(3)、如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）

(4)、如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE= $\frac{1}{3}$ AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是．

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28.
某班“数学兴趣小组”对函数y=x²﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

(1)、自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣ $\frac{5}{2}$
﹣2
﹣1
0
1
2
$\frac{5}{2}$
3
…
y
…
3
$\frac{5}{4}$
m
﹣1
0
﹣1
0
$\frac{5}{4}$
3
…
其中，m= ．

(2)、根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

(3)、观察函数图象，写出两条函数的性质．

(4)、进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x²﹣2|x|=0有个实数根；
②方程x²﹣2|x|=2有个实数根；
③关于x的方程x²﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是．

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29.
阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线 $y = \frac{1}{4} {(x - m)}^{2} + n$ 经过B、C两点，顶点D在正方形内部．

(1)、直接写出点D（m，n）所有的特征线；

(2)、若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；

(3)、点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？

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30.
问题探究：
①新知学习
若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．
②解决问题

已知等边三角形ABC的边长为2．

(1)、如图一，若AD⊥BC，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；

(2)、如图二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；

(3)、如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点（0＜AM＜1），E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且S_△_MOA=S_△_DOE ．
①求证：ME是△ABC的面径；
②连接AE，求证：MD∥AE；

(4)、请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）

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31.
已知y是x的函数，自变量x的取值范围x＞0，下表是y与x的几组对应值：
x
…
1
2
3
5
7
9
…
y
…
1.98
3.95
2.63
1.58
1.13
0.88
…
小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：

(1)、如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

(2)、根据画出的函数图象，写出：
①x=4对应的函数值y约为
②该函数的一条性质：

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32.
如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．
【探究证明】

(1)、请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；

(2)、如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．

(3)、图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为，；

(4)、图n中，“叠弦三角形”等边三角形（填“是”或“不是”）

(5)、图n中，“叠弦角”的度数为（用含n的式子表示）

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33.
数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．

(1)、初步尝试
如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；

(2)、类比发现
如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；

(3)、深入探究
如图3，若AD=3AB，探究得： $\frac{A E + 3 A F}{A C}$ 的值为常数t，则t= ．

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34.
在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
（一）尝试探究
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别在线段BC、CD上，∠EAF=30°，连接EF．

(1)、如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF=度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为．

(2)、如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．

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35.
爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】

(1)、如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\sqrt{2}$ 时，a= ， b=；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ， b=；

(2)、【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

(3)、【拓展证明】如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\sqrt{5}$ ，AB=3，求AF的长．

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36. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．
小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．

(1)、根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）
参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

(2)、如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；

(3)、如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ），∠AED=∠BCD，求 $\frac{A E}{E C}$ 的值（用含k的式子表示）．

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x	…	﹣2	﹣1.5	﹣1	﹣0.5	0	0.5	1	1.5	2	…
y	…	2	0.75	0	﹣0.25	0	﹣0.25	0	m	2	…

x	…	﹣3	﹣ $\frac{5}{2}$	﹣2	﹣1	0	1	2	$\frac{5}{2}$	3	…
y	…	3	$\frac{5}{4}$	m	﹣1	0	﹣1	0	$\frac{5}{4}$	3	…

x	…	1	2	3	5	7	9	…
y	…	1.98	3.95	2.63	1.58	1.13	0.88	…