中考备考专题复习：探索规律问题

试卷更新日期：2017-02-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1.
下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（　　）

A、64 B、77 C、80 D、85

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2.
观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（　　）

A、43 B、45 C、51 D、53

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3.
如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（　　）

A、y=2n+1 B、y=2ⁿ+n C、y=2ⁿ⁺¹+n D、y=2ⁿ+n+1

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4.
用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（　　）

A、2n+1 B、n²﹣1 C、n²+2n D、5n﹣2

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5.
如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（　　）

A、671 B、672 C、673 D、674

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6. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算
2¹=2
2²=4
2³=8
…
3¹=3
3²=9
3³=27
…
新运算
log₂2=1
log₂4=2
log₂8=3
…
log₃3=1
log₃9=2
log₃27=3
…
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log₂16=4，②log₅25=5，③log₂ $\frac{1}{2}$ =﹣1．其中正确的是（　　）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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7. 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S₁ ，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂ ， …，按照此规律继续下去，则S₉的值为（）

A、（ $\frac{1}{2}$ ）⁶ B、（ $\frac{1}{2}$ ）⁷ C、（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）⁶ D、（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）⁷

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二、填空题

8.
下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需根火柴棒．

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9. 按一定规律排列的一列数： $\frac{1}{2}$ ，1，1，□， $\frac{3}{11}$ ， $\frac{11}{13}$ ， $\frac{13}{17}$ ，…请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为．

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10.
如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P₁ ， P₂ ， P₃ ， …，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P₁（0，0），P₂（0，1），P₃（1，1），P₄（1，﹣1），P₅（﹣1，﹣1），P₆（﹣1，2）…根据这个规律，点P₂₀₁₆的坐标为．

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11.
将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有个小圆•（用含n的代数式表示）

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12.
如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为．

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13. 观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a²﹣b²
（a﹣b）（a²+ab+b²）=a³﹣b³
（a﹣b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴﹣b⁴
…
可得到（a﹣b）（a²⁰¹⁶+a²⁰¹⁵b+…+ab²⁰¹⁵+b²⁰¹⁶）=

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14. 观察下列数据：﹣2， $\frac{5}{2}$ ，﹣ $\frac{10}{3}$ ， $\frac{17}{4}$ ，﹣ $\frac{26}{5}$ ，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．

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15.
找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为．

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16.
如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第n个图案需要个铜币．

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17.
小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是枚．

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18.
如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为．

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19.
如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，那么第4个图形中的x= ，一般地，用含有m，n的代数式表示y，即y= ．

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20. 等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②…依此规律，第15次翻转后点C的横坐标是．

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21. 如图，点A₁（2，2）在直线y=x上，过点A₁作A₁B₁∥y轴交直线y= $\frac{1}{2}$ x于点B₁ ，以点A₁为直角顶点，A₁B₁为直角边在A₁B₁的右侧作等腰直角△A₁B₁C₁ ，再过点C₁作A₂B₂∥y轴，分别交直线y=x和y= $\frac{1}{2}$ x于A₂ ， B₂两点，以点A₂为直角顶点，A₂B₂为直角边在A₂B₂的右侧作等腰直角△A₂B₂C₂…，按此规律进行下去，则等腰直角△A_nB_nC_n的面积为（用含正整数n的代数式表示）

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三、综合题

22.
环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．

(1)、求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

(2)、该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

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23.
【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．
【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x₁ ，先在直线y=kx+b上确定点（x₁ ， y₁），再在直线y=x上确定纵坐标为y₁的点（x₂ ， y₁），然后再x轴上确定对应的数x₂ ， …，以此类推．
【解决问题】研究输入实数x₁时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．

(1)、若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；

(2)、若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；

(3)、①若k=﹣ $\frac{2}{3}$ ，b=2，已在x轴上表示出x₁（如图2所示），请在x轴上表示x₂ ， x₃ ， x₄ ，并写出研究结论；
②若输入实数x₁时，运算结果x_n互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）

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24. 有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是 $\frac{1}{1 \times 2}$ ；
第二个数是 $\frac{1}{2 \times 3}$ ；
第三个数是 $\frac{1}{3 \times 4}$ ；
…
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于 $\frac{2}{n \times (n + 2)}$ ．

(1)、经过探究，我们发现： $\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
设这列数的第5个数为a，那么 $a > \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ ， $a = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ ， $a < \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ ，哪个正确？
请你直接写出正确的结论；

(2)、请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于 $\frac{2}{n \times (n + 2)}$ ”；

(3)、设M表示 $\frac{1}{1^{2}}$ ， $\frac{1}{2^{2}}$ ， $\frac{1}{3^{2}}$ ，…， $\frac{1}{2016^{2}}$ ，这2016个数的和，即 $M = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots \dots + \frac{1}{2016^{2}}$ ，
求证： $\frac{2016}{2017} < M < \frac{4031}{2016}$ ．

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25.
已知y是x的函数，自变量x的取值范围x＞0，下表是y与x的几组对应值：
x
…
1
2
3
5
7
9
…
y
…
1.98
3.95
2.63
1.58
1.13
0.88
…
小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：

(1)、如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

(2)、根据画出的函数图象，写出：
①x=4对应的函数值y约为
②该函数的一条性质：

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指数运算	2¹=2	2²=4	2³=8	…	3¹=3	3²=9	3³=27	…
新运算	log₂2=1	log₂4=2	log₂8=3	…	log₃3=1	log₃9=2	log₃27=3	…

x	…	1	2	3	5	7	9	…
y	…	1.98	3.95	2.63	1.58	1.13	0.88	…