中考备考专题复习：二次函数的应用

试卷更新日期：2017-02-07 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知二次函数y=（x﹣h）²+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）

A、1或﹣5 B、﹣1或5 C、1或﹣3 D、1或3

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2. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x²+5x+6，则原抛物线的解析式是（　　）

A、y=﹣（x﹣ $\frac{5}{2}$ ）²﹣ $\frac{11}{4}$ B、y=﹣（x+ $\frac{5}{2}$ ）²﹣ $\frac{11}{4}$ C、y=﹣（x﹣ $\frac{5}{2}$ ）²﹣ $\frac{1}{4}$ D、y=﹣（x+ $\frac{5}{2}$ ）²+ $\frac{1}{4}$

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3. 已知函数y=ax²﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）

A、当a=1时，函数图象过点（﹣1，1） B、当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C、若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D、若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大

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4. 以x为自变量的二次函数y=x²﹣2（b﹣2）x+b²﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（　　）

A、b≥ $\frac{5}{4}$ B、b≥1或b≤﹣1 C、b≥2 D、1≤b≤2

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5. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　）

A、y=60（300+20x） B、y=（60﹣x）（300+20x） C、y=300（60﹣20x） D、y=（60﹣x）（300﹣20x）

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6.
如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b²＜8a
④ $\frac{1}{3}$ ＜a＜ $\frac{2}{3}$
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）

A、①③ B、①③④ C、②④⑤ D、①③④⑤

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7. 若抛物线y=x²﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　）

A、y=（x﹣2）²+3 B、y=（x﹣2）²+5 C、y=x²﹣1 D、y=x²+4

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8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax²﹣bx的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9.
二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b²﹣4ac＞0，其中正确的个数是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知a≥2，m²﹣2am+2=0，n²﹣2an+2=0，其中 $m \neq n$ ，则（m﹣1）²+（n﹣1）²的最小值是（　　）

A、6 B、3 C、﹣3 D、0

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11.
如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（　　）

A、2a﹣b=0 B、a+b+c＞0 C、3a﹣c=0 D、当a= $\frac{1}{2}$ 时，△ABD是等腰直角三角形

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12. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x²+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是．

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14. 某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为．

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15. 直线y=kx+b与抛物线y= $\frac{1}{4}$ x²交于A（x₁ ， y₁）、B（x₂ ， y₂）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为．

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16.
二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是．

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17. 已知关于x的二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（﹣2，y₁），（﹣1，y₂），（1，0），且y₁＜0＜y₂ ，对于以下结论：
①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有 $\frac{a}{b}$ x²+x≥﹣ $\frac{b}{4 a}$ ；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x₀ ，使得x₀=﹣ $\frac{a + b}{a}$ ，
其中结论错误的是（只填写序号）．

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三、综合题

18.
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣ $\frac{1}{4}$ x²+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）．

(1)、求该二次函数的表达式及点C的坐标；

(2)、点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．
①求S的最大值；
②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

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19.
课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m² ．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：

(1)、若AB为1m，求此时窗户的透光面积？

(2)、与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

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20.
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx经过两点A（﹣1，1），B（2，2）．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．

(1)、求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；

(2)、若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为 $\frac{7}{2}$ ，求出点M的坐标；

(3)、连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标．

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21.
如图1，二次函数y=ax²+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

(3)、如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中， $\frac{O N^{2}}{O M}$ 为常数，试确定k的值．

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22.
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ $\frac{1}{3}$ x²+ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．

(1)、判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)、经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；

(3)、如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A₁OC₁的位置，点A，C的对应点分别为点A₁ ， C₁ ，且点A₁恰好落在AC上，连接C₁A′，C₁E′，△A′C₁E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．

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