中考备考专题复习：分式及其运算

试卷更新日期：2017-02-07 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 下列各式中是分式的是（）

A、x B、 $\frac{x}{2}$ C、 $\frac{2}{x}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 下列各式的运算正确的是（）

A、 $\frac{a^{3}}{a} = a$ B、a²+a=2a³ C、（﹣2a）²=﹣2a² D、（a³）²=a⁶

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3. 下列计算，正确的是（）

A、（﹣2）^﹣²=4 B、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ C、4⁶÷（﹣2）⁶=64 D、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{6}$

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4. 计算 $\frac{x + 1}{x}$ ﹣ $\frac{1}{x}$ 的结果为（）

A、1 B、x C、 $\frac{1}{x}$ D、 $\frac{x + 2}{x}$

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5. 下列分式中，最简分式是（　　）

A、 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ B、 $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ C、 $\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{x^{2} - x y}$ D、 $\frac{x^{2} - 36}{2 x + 12}$

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6. 化简 $\frac{16 - a^{2}}{a^{2} + 4 a + 4} \div \frac{a - 4}{2 a + 4} \cdot \frac{a + 2}{a + 4}$ ，其结果是（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- \frac{2}{{(a + 2)}^{2}}$ D、 $\frac{2}{{(a + 2)}^{2}}$

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7. 下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）

A、 $y = - \sqrt{2 - x}$ B、 $y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x}$ C、 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ D、 $y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

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8. 分式 $\frac{1}{2 a}$ ， $\frac{1}{3 b}$ ， $\frac{1}{12 c}$ 的最简公分母是（　　）

A、6abc B、12abc C、24abc D、
36abc

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9. 化简（ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ） $\div (\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}})$ •ab，其结果是（）

A、 $\frac{a^{2} b^{2}}{a - b}$ B、 $\frac{a^{2} b^{2}}{b - a}$ C、 $\frac{1}{a - b}$ D、 $\frac{1}{b - a}$

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10. 下列运算中正确的是（　　）

A、 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 1$ B、 $\frac{2 x + y}{3 x + y} = \frac{2}{3}$ C、 $\frac{x + y}{x^{2} - y^{2}} = \frac{1}{x - y}$ D、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y} = x + y$

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11. 化简 $\frac{m^{2}}{m - n} + \frac{n^{2}}{n - m}$ 的结果是（　　）

A、m+n B、n﹣m C、m﹣n D、﹣m﹣n

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12. 下列各分式中最简分式是（　　）

A、 $\frac{a^{2} - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$ B、 $\frac{b^{2} - a^{2}}{a + b}$ C、 $\frac{a + b}{a - b}$ D、 $\frac{20 (a - b)}{15 (a + b)}$

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13. 下列变形正确的是（　　）

A、 B、 $\frac{x + 1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{x - 1}$ C、 $\frac{1}{x} = \frac{2}{x + 1}$ D、 $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x} = \frac{- 1}{x (x - 1)}$

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14. 若代数式 $\frac{1}{1 - x}$ + $\sqrt{x}$ 有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A、x≠1 B、x≥0 C、x≠0 D、x≥0且x≠1

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15. 如果a=（-99）⁰ ， b=（-0.1）^-1 ， c=（- $\frac{2}{3}$ ）^-2 ，那么a ， b ， c三数的大小为（　　）

A、a＞b＞c B、c＞a＞b C、a＞c＞b D、
c＞b＞a

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二、填空题

16. 若代数式 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x}$ 有意义，则x的取值范围是．

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17. 计算： $\frac{2 a - 1}{a}$ + $\frac{1}{a}$ = .

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18. 已知若分式 $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x + 1}$ 的值为0，则x的值为．

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19. 函数y= $\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ 中，自变量x的取值范围是．

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20. 已知a₁= $\frac{t}{1 + t}$ ，a₂= $\frac{1}{1 - a_{1}}$ ，a₃= $\frac{1}{1 - a_{2}}$ ，…，a_n+1= $\frac{1}{1 - a_{n}}$ （n为正整数，且t≠0，1），则a₂₀₁₆=（用含有t的代数式表示）．

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三、解答题

21. 计算：（π﹣ $\sqrt{10}$ ）⁰+| $\sqrt{2}$ ﹣1|+（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣¹﹣2sin45°．

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22. 化简：a﹣b﹣ $\frac{{(a + b)}^{2}}{a + b}$ ．

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23. 先化简，再求值：（1﹣ $\frac{2}{x - 1}$ ）• $\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 6 x + 9}$ ，其中x是从1，2，3中选取的一个合适的数．

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24. 化简： $\frac{2 x}{x + 1} - \frac{2 x + 4}{x^{2} - 1} \div \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．

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四、综合题

25. 解答

(1)、已知﹣ $\frac{1}{2} x^{2 m - 1} y^{5}$ 与xⁿy^m+n是同类项，求m、n的值；

(2)、先化简后求值：（ $\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 2}$ ） $\div \frac{a}{a^{2} + a - 2}$ ，其中a= $\sqrt{3}$ ．

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26. 有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是 $\frac{1}{1 \times 2}$ ；
第二个数是 $\frac{1}{2 \times 3}$ ；
第三个数是 $\frac{1}{3 \times 4}$ ；
…
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于 $\frac{2}{n \times (n + 2)}$ ．

(1)、经过探究，我们发现： $\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
设这列数的第5个数为a，那么 $a > \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ ， $a = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ ， $a < \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ ，哪个正确？
请你直接写出正确的结论；

(2)、请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于 $\frac{2}{n \times (n + 2)}$ ”；

(3)、设M表示 $\frac{1}{1^{2}}$ ， $\frac{1}{2^{2}}$ ， $\frac{1}{3^{2}}$ ，…， $\frac{1}{2016^{2}}$ ，这2016个数的和，即 $M = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots \dots + \frac{1}{2016^{2}}$ ，
求证： $\frac{2016}{2017} < M < \frac{4031}{2016}$ ．

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