河南省南阳市2017-2018学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2018-07-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下面的抽样适合用简单随机抽样的是（）

A、在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，用随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖 B、某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格 C、某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见 D、用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验

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2. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“恰有一次中靶”的互斥的事件是（）

A、至多有一次中靶 B、两次都中靶 C、恰有一次不中靶 D、至少有一次中靶

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3. 计算机执行右面的程序后，输出的结果是（）

A、 $4$ ， $1$ B、 $1$ ， $3$ C、 $0$ ， $0$ D、 $6$ ， $0$

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4. 从随机编号为 $0001 ， 0002 ， \dots ， 1500$ 的1500名参加某次沈阳市四校联考期末测试的学生中，用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为 $0018 ， 0068$ ，则样本中最大的编号应该是（）

A、1466 B、1467 C、1468 D、1469

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5.
如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（　　）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{7}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 为了考查两个变量 $x$ 和 $y$ 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了 $10$ 次和 $15$ 次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ，已知两人得的试验数据中，变量 $x$ 和 $y$ 的数据的平均值都相等，且分别都是 $s$ 、 $t$ ，那么下列说法正确的是（）

A、直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 一定有公共点 $(s ， t)$ B、必有直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ C、直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 相交，但交点不一定是 $(s ， t)$ D、 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 必定重合

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7. $\bar{x}$ 是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{100}$ 的平均数， $a$ 是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{40}$ 的平均数， $b$ 是 $x_{41}$ ， $x_{42}$ ， $\dots$ ， $x_{100}$ 的平均数，则下列各式正确的是（）

A、 $\bar{x} = \frac{2}{5} a + \frac{3}{5} b$ B、 $\bar{x} = \frac{3}{5} a + \frac{2}{5} b$ C、 $\bar{x} = a + b$ D、 $\bar{x} = \frac{a + b}{2}$

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8. 如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据统计该运动员射击4次至少击中3次的概率为（）

A、0.852 B、0.8192 C、0.8 D、0.75

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10. 已知 $Δ A B C$ 中， $C = 90 °$ ， $A B = 2 A C$ ，在斜边 $A B$ 上任取一点 $P$ ，则满足 $∠ A C P \leq 30 °$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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11. 现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12. 执行如图所示的程序框图，若输入 $m = 1 ， n = 3$ ，输出的 $x = 1.75$ ，则空白判断框内应填的条件为（）

A、 $| m - n | < 1$ B、 $| m - n | < 0.5$ C、 $| m - n | < 0.2$ D、 $| m - n | < 0.1$

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二、填空题

13. 从区间 $[0 ， 1]$ 随机抽取 $2 n$ 个数， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $\dots$ ， $y_{n}$ ，构成 $n$ 个数对 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $\dots$ ， $(x_{n} ， y_{n})$ ，其中两数的平方和小于 $1$ 的数对共有 $m$ 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 $π$ 的近似值为．

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14. 运行右边算法语句输出 $x$ 的结果是．

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15. 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 $a ， b$ ，则直线 $a x + b y = 0$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 有公共点的概率为.

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16. 已知样本数据 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5}$ 的方差 $s^{2} = \frac{1}{5} (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} - 20)$ ，则样本数据 $2 a_{1} + 1 ， 2 a_{2} + 1 ， 2 a_{3} + 1 ， 2 a_{4} + 1 ， 2 a_{5} + 1$ 的平均数为．

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三、解答题

17. 由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表：
排队人数
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$ 人以上
概率
$0.1$
$0.16$
$0.3$
$0.3$
$0.1$
$0.04$

(1)、至多有 $2$ 人排队的概率是多少？

(2)、至少有 $2$ 人排队的概率是多少？

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18. 根据如图算法的程序，画出其相应的算法程序框图，并指明该算法的目的.

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19. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 $1$ 至 $6$ 月份每月 $10$ 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差 $x$ （ $^{\circ} C$ ）
10
11
13
12
8
6
就诊人数 $y$ （个）
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 $2$ 组，用剩下的 $4$ 组数据求线性回归方程，再用被选取的 $2$ 组数据进行检验.
参考数据 $11 \times 25 + 13 \times 29 + 12 \times 26 + 8 \times 16 = 1092$ ， $11^{2} + 13^{2} + 12^{2} + 8^{2} = 498$
（参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ ）

(1)、求选取的 $2$ 组数据恰好是相邻两月的概率；

(2)、若选取的是 $1$ 月与 $6$ 月的两组数据，请根据 $2$ 至 $5$ 月份的数据，求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = b x + a$ ；

(3)、若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 $2$ 人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？

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20. 某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，且将全班 $25$ 人的成绩记为 $A_{i} (i = 1 ， 2 ， \dots ， 25)$ 由右边的程序运行后，输出 $n = 10$ .据此解答如下问题：
注：图中 $Y$ 表示“是”， $N$ 表示“否”

(1)、求茎叶图中破损处分数在 $[50 ， 60)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ 各区间段的频数；

(2)、利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的众数，中位数分别是多少？

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21. 某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市

18 ~ 68

岁的人群抽取一个容量为

n

的样本，并将样本数据分成五组：

[18 ， 28)

，

[28 ， 38)

，

[38 ， 48)

，

[48 ， 58)

，

[58 ， 68)

，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示.

组号	分组	回答正确的人数	回答正确的人数占本组的比例
第1组	$[18 ， 28)$	$5$	$0.5$
第2组	$[28 ， 38)$	$18$	$a$
第3组	$[38 ， 48)$	$27$	$0.9$
第4组	$[48 ， 58)$	$x$	$0.36$
第5组	$[58 ， 68)$	$3$	$0.2$

(1)、分别求出

a

，

x

的值；

(2)、从第

2

，

3

，

4

组回答正确的人中用分层抽样方法抽取

6

人，则第

2

，

3

，

4

组每组应各抽取多少人？

(3)、在（2）的前提下，决定在所抽取的

6

人中随机抽取

2

人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有

1

人获得幸运奖概率.

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22. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 $10$ 场比赛，比赛得分情况如下（单位：分）
甲： $37 ， 21 ， 31 ， 20 ， 29 ， 19 ， 32 ， 23 ， 25 ， 33$
乙： $10 ， 30 ， 47 ， 27 ， 46 ， 14 ， 26 ， 10 ， 44 ， 46$

(1)、根据得分情况记录，作出两名篮球运动员得分的茎叶图，并根据茎叶图，对甲、乙两运动员得分作比较，写出两个统计结论；

(2)、设甲篮球运动员 $10$ 场比赛得分平均值 $\bar{x}$ ，将 $10$ 场比赛得分 $x_{i}$ 依次输入如图所示的程序框图进行运算，问输出的 $S$ 大小为多少？并说明 $S$ 的统计学意义；

(3)、如果从甲、乙两位运动员的 $10$ 场得分中，各随机抽取一场不少于 $30$ 分的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率.

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排队人数	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$ 人以上
概率	$0.1$	$0.16$	$0.3$	$0.3$	$0.1$	$0.04$

日期	1月10日	2月10日	3月10日	4月10日	5月10日	6月10日
昼夜温差 $x$ （ $^{\circ} C$ ）	10	11	13	12	8	6
就诊人数 $y$ （个）	22	25	29	26	16	12