2018年高考数学真题分类汇编专题19：数列（综合题）

试卷更新日期：2018-07-24 类型：二轮复习

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一、数列

1. 已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=2(n+1)a_n ，设b_n= $\frac{a_{n}}{n}$

(1)、求b₁ ， b₂ ， b₃

(2)、判断数列{b_n}是否为等比数列，并说明理由；

(3)、求{a_n}的通项公式

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2. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a₁=-7，S₃=-15.

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、求S_n ，并求S_n的最小值。

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3. 已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M (1 ， m) (m > 0)$

(1)、证明： $k < - \frac{1}{2}$

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\vec{F P} + \vec{F A} + \vec{F B} = 0$ ，证明： $| \vec{F A} | ， | \vec{F P} | ， | \vec{F B} |$ 成等差数列，并求该数列的公差。

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4. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4 a_{3}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若S_m=63，求m。

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5. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{1} = \ln 2$ ， $a_{2}$ +a₃=5 $\ln 2$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求 $e^{a_{1}}$ + $e^{a_{2}}$ +…+ $e^{a_{n}}$ .

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6. 设{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n（n∈N^*）；{b_n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T_n（n∈N^*）．已知b₁=1，b₃=b₂+2，b₄=a₃+a₅ ， b₅=a₄+2a₆ ．
（Ⅰ）求S_n和T_n；
（Ⅱ）若S_n+（T₁+T₂+…+T_n）=a_n+4b_n ，求正整数n的值．

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7. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ， ${b_{n}}$ 是等差数列.已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 2$ ， $a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ， $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${S_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，
（i）求 $T_{n}$ ；
（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{(T_{k} + b_{k + 2}) b_{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2^{n + 2}}{n + 2} - 2 (n \in N^{*})$ .

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8. 设函数 $f (x) =(x - t_{1}) (x - t_{2}) (x - t_{3})$ ，其中 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3} \in R$ ，且 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3}$ 是公差为 $d$ 的等差数列.
（I）若 $t_{2} = 0 ， d = 1 ，$ 求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；
（II）若 $d = 3$ ，求 $f (x)$ 的极值；
（III）若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = - (x_{1} - t_{2}) - 6 \sqrt{3}$ 有三个互异的公共点，求d的取值范围.

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9. 给定无穷数列 ${a_{n}}$ ，若无穷数列{b_n}满足：对任意 $n \in N *$ ，都有 $| b_{n} - a_{n} | \leq 1$ ，则称 ${b_{n}} 与 {a_{n}}$ “接近”。

(1)、设 ${a_{n}}$ 是首项为1，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列， $b_{n} = a_{n + 1} + 1$ ， $n \in N *$ ，判断数列 ${b_{n}}$ 是否与 ${a_{n}}$ 接近，并说明理由；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的前四项为： $a_{1}$ =1， $a_{2}$ =2， $a_{3}$ =4， $a_{4}$ =8，{b_n}是一个与 ${a_{n}}$ 接近的数列，记集合M={x|x=b_i ， i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；

(3)、已知 ${a_{n}}$ 是公差为d的等差数列，若存在数列{b_n}满足：{b_n}与 ${a_{n}}$ 接近，且在b₂-b₁，b₃-b₂，…b₂₀₁-b₂₀₀中至少有100个为正数，求d的取值范围。

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10. 已知等比数列{a_n}的公比q>1，且a₃+a₄+a₅=28，a₄+2是a₃ ， a₅的等差中项．数列{b_n}满足b₁=1，数列{（b_n₊₁−b_n）a_n}的前n项和为2n²+n ．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式．

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11. 设{ $a_{n}$ }是首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ 的等差数列， ${{b}_{n}}$ 是首项 $b_{1}$ ，公比为q的等比数列

(1)、设 $a_{1} =0 ， b_{1} =1，q=2 ，$ 若 $| a_{n} {-b}_{n} | \leq b_{1}$ 对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围

(2)、若 $a_{1} {=b}_{1} > 0$ ， $m \in N^{*}$ ， $q \in (1 ， \sqrt[m]{2}]$ 证明：存在 $d \in R$ ，使得 $| a_{n} {-b}_{n} | \leq b_{1}$ 对
n=2，3，…， $m+ 1$ 均成立，并求 $d$ 的取值范围（用 $b_{1}$ $， m ，q$ 表示）。

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