2018年高考数学真题分类汇编专题18：平面解析几何（综合题）

试卷更新日期：2018-07-11 类型：二轮复习

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一、平面解析几何

1. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 得直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ .

(1)、当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $A M$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，证明： $∠ O M A = ∠ O M B$ .

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2. 设抛物线C：y²=2x，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线 $l$ 与C交于M，N两点

(1)、当 $l$ 与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)、证明：∠ABM=∠ABN

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3. 设抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过F点且斜率 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $| A B | = 8$ .

(1)、求 $l$ 的方程。

(2)、求过点 $A ， B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程.

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4. 已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M (1 ， m) (m > 0)$

(1)、证明： $k < - \frac{1}{2}$

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\vec{F P} + \vec{F A} + \vec{F B} = 0$ ，证明： $2 | \vec{F P} | = | \vec{F A} | + | \vec{F B} |$

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5. 已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M (1 ， m) (m > 0)$

(1)、证明： $k < - \frac{1}{2}$

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\vec{F P} + \vec{F A} + \vec{F B} = 0$ ，证明： $| \vec{F A} | ， | \vec{F P} | ， | \vec{F B} |$ 成等差数列，并求该数列的公差。

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = \cos θ \\ y = \sin θ \end{cases}$ ( $θ$ 为参数)，过点 $(0 ， - \sqrt{2})$ 且倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 与 $⊙ O$ 交于 $A ， B$ 两点

(1)、求 $a$ 的取值范围

(2)、求 $A B$ 中点 $P$ 的轨迹的参数方程

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7. 已知抛物线C： $y^{2}$ =2px经过点p(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B ，且直线PA交y轴于M ，直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；

(Ⅱ)设O为原点， $\vec{Q M} = λ \vec{Q O}$ ， $\vec{Q N} = μ \vec{Q O}$ ，求证： $\frac{1}{λ}$ + $\frac{1}{μ}$ 为定值.

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8. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距2 $\sqrt{2}$ .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A ， B.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若 $k = 1$ ，求 $| A B |$ 的最大值；
（Ⅲ）设 $P (- 2 ， 0)$ ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C ，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C ， D和点 $Q (- \frac{7}{4} ， \frac{1}{4})$ 共线，求k.

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9. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，点A的坐标为 $(b ， 0)$ ，且 $| F B | \cdot | A B | = 6 \sqrt{2}$ .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l： $y = k x (k > 0)$ 与椭圆在第一象限的交点为P ，且l与直线AB交于点Q.若 $\frac{| A Q |}{| P Q |} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} \sin ∠ A O Q$ (O为原点)，求k的值.

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10. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为A ，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ， $| A B | = \sqrt{13}$ .
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 $l ： y = k x (k < 0)$ 与椭圆交于 $P ， Q$ 两点， $l$ 与直线 $A B$ 交于点M ，且点P ， M均在第四象限.若 $△ B P M$ 的面积是 $△ B P Q$ 面积的2倍，求k的值.

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11. 设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线 $Γ$ ： $y^{2} = 8 x$ $（ 0 \leq x \leq t ， y \geq 0 ）$ ，l与x轴交于点A，与 $Γ$ 交于点B，P、Q分别是曲线 $Γ$ 与线段AB上的动点。

(1)、用t表示点B到点F的距离；

(2)、设t=3， $∣ F Q ∣ = 2$ ，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；

(3)、设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 $Γ$ 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。

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12. 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y²=4x上存在不同的两点A ， B满足PA ， PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M ，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x²+ $\frac{y^{2}}{4}$ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

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13. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆C过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，焦点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ， F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，圆O的直径为 $F_{1} F_{2}$ .

(1)、求椭圆C及圆O的方程；

(2)、设直线 $l$ 与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线 $l$ 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线 $l$ 与椭圆C交于A、B两点.若 $Δ O A B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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