2018年高考数学真题分类汇编专题17：空间几何（综合题）

试卷更新日期：2018-07-11 类型：二轮复习

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一、空间几何

1. 如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA

(1)、证明：平面ACD⊥平面ABC：

(2)、Q为线段AD上一点，P为线段BC上点，且BP=DQ= $\frac{2}{3}$ DA，求三棱锥Q-ABP的体积.

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2. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $E ， F$ 分别为 $A D ， B C$ 的中点，以 $D F$ 为折痕把 $Δ D F C$ 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $P F ⊥ Β F$ .

(1)、证明：平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B F D$ ；

(2)、求 $D P$ 与平面 $A B F D$ 所成角的正弦值.

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3. 如图，在三角锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ， $O$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $M$ 在棱 $B C$ 上，且二面角 $M - P A - C$ 为 $30 °$ ，求 $P C$ 与平面 $P A M$ 所成角的正弦值.

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4. 如图，在三角锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ， $O$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $M$ 在棱 $B C$ 上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.

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5. 如图，边长为2的正方形 $A B C D$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 上异于 $C ， D$ 的点。

(1)、证明：平面 $A M D ⊥$ 平面 $B M C$

(2)、当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。

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6. 如图，矩形 $A B C D$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 上异于 $C ， D$ 的点。

(1)、证明：平面 $A M D ⊥$ 平面 $B M C$

(2)、在线段 $A M$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $M C ∥$ 平面 $P B D$ ？说明理由

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7. 如图，在三菱柱ABC- $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面ABC。 D，E，F，G分别为 $A A_{1}$ ，AC， $A_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，AB=BC= $\sqrt{5}$ ，AC= $A A_{1}$ =2。

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF：
（Ⅱ）求二面角B-CD- $C$ ₁的余弦值：
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交。

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8. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ， PA⊥PD ， PA=PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.

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9. 如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD ，点M为棱AB的中点，AB=2，AD= $2 \sqrt{3}$ ，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

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10. 如图， $A D / / B C$ 且AD=2BC ， $A D ⊥ C D$ ， $E G / / A D$ 且EG=AD ， $C D / / F G$ 且CD=2FG ， $D G ⊥ 平面 A B C D$ ，DA=DC=DG=2.
（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： MN//平面CDE ；
（Ⅱ）求二面角 $E - B C - F$ 的正弦值；
（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

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11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2。

(1)、设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

(2)、设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.

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12. 如图，已知多面体ABCA₁B₁C₁ ， A₁A ， B₁B ， C₁C均垂直于平面ABC ， ∠ABC=120°，A₁A=4，C₁C=1，AB=BC=B₁B=2．
（Ⅰ）证明：AB₁⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求直线AC₁与平面ABB₁所成的角的正弦值．

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13. 在平行四边形 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B ， A B_{1} ⊥ B_{1} C_{1}$

求证：

(1)、 $A B / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C$

(2)、平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$

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