辽宁省六校协作体2017-2018学年高二下学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2018-07-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | 1 < x \leq 2}$ ， $Q = {x | x^{2} - 2 x \leq 0}$ ，则 $P \cap^{} Q =$ （）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $[1 ， 2]$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，则满足 $z - i = | 1 + 2 i |$ 的复数 $z$ 在复平面上对应点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 32$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{5}{32}$ B、 $2$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $\frac{32}{5}$

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4. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 $\frac{1}{4}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 函数f(x)= $\frac{1}{5}$ sin(x+ $\frac{π}{3}$ )+cos(x− $\frac{π}{6}$ )的最大值为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、1 C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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6. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： $c m$ ）可得这个几何体的体积是（）

A、 $\frac{4}{3} c m^{3}$ B、 $\frac{8}{3} c m^{3}$ C、 $3 c m^{3}$ D、 $4 c m^{3}$

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7. 若x ， y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ x + 2 y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 将长宽分别为 $2$ 和 $1$ 的长方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，得到四面体 $A - B C D$ ，则四面体 $A - B C D$ 外接球的表面积为（）

A、 $3 π$ B、 $5 π$ C、 $10 π$ D、 $20 π$

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9. 执行右图中的程序框图，输出的 $T =$ （）

A、 $5$ B、 $20$ C、 $30$ D、 $42$

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10. 三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股方圆图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股方圆图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 $α = \frac{π}{6}$ ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）

A、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{4- \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x - 1} - 2 ， x \leq 1 \\ - {log}_{2} (x + 1) ， x > 1 \end{matrix}$ ，且 $f (a) = - 3$ ，则 $f (6 - a) =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $- \frac{7}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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12. 在 $△ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 2 B C = 4$ ， $M ， N$ 是边 $A B$ 上的两个动点，且 $| M N | = 1$ ，则 $\overset{⇀}{C M} \cdot \overset{⇀}{C N}$ 的取值范围为（）

A、 $[5 ， 9]$ B、 $[\frac{11}{4} ， 9]$ C、 $[\frac{15}{4} ， 9]$ D、 $[\frac{11}{4} ， 5]$

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二、填空题

13. 若双曲线 $E$ 的标准方程是 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ ，则双曲线 $E$ 的渐近线方程是．

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14. 甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。甲说：是乙做的。乙说：不是我做的。丙说：不是我做的。
则做好事的是 (填甲、乙、丙中的一个)

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15. 在各项均为正数的等比数列{a_n}中，若a₂=1，a₈=a₆+2a₄ ，则a₆的值是．

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16. 定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的函数 $f (x) = - 2 x + sin x$ ，如果 $f (1 - a) + f (1 - a^{2}) > 0$ ，则实数a的取值范围为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，已知内角 $A ， B ， C$ 对边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $2 c cos B = 2 a + b$ .

(1)、求 $∠ C$ ；

(2)、若 $a + b = 6$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $c$ .

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18. 某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为 $[$ 80，90 $)$ 、 $[$ 90，100 $)$ 、 $[$ 100，110 $)$ 、 $[$ 110，120 $)$ 、 $[$ 120，130 $)$ ，由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：
附：
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5. 024
6.635
7.879
10.828

(1)、完成下面2×2列联表，你能有97.5 $%$ 的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；

成绩小于100分
成绩不小于100分
合计
甲班
$a =__$
$b =__$
50
乙班
$c = 24$
$d = 26$
50
合计
$e =__$
$f =__$
100

(2)、根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是105.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分？

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B_{1} B = B_{1} A = B A = B C = 2$ ， $∠ B_{1} B C = 90 °$ ，
$D$ 为 $A C$ 的中点， $A B ⊥ B_{1} D$ ．

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求 $B$ 到平面 $A B_{1} D$ 的距离．

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20. 抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点 $M (\frac{p}{2} ， p)$ 到其焦点 $F$ 的距离是 $2$ .

(1)、求 $C$ 的方程．

(2)、过点 $M$ 作圆 $D$ ： ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，分别交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，若直线 $A B$ 的斜率是 $- 1$ ，求实数 $a$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、在（1）的条件下，求证： $f (x) > 0$ ；

(3)、当 $a > 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， a]$ 上的最大值．

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22. 在极坐标系中，点 $M$ 坐标是 $(3 ， \frac{π}{2})$ ，曲线 $C$ 的方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} sin (θ + \frac{π}{4})$ ；以极点为坐标原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是 $- 1$ 的直线 $l$ 经过点 $M$ ．

(1)、写出直线 $l$ 的参数方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、求证直线 $l$ 和曲线 $C$ 相交于两点 $A$ 、 $B$ ，并求 $| M A | \cdot | M B |$ 的值．

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23. 设关于 $x$ 的不等式 $| x - 4 | + | x - 3 | < a$ ．

(1)、若 $a = 5$ ，求此不等式解集；

(2)、若此不等式解集不是空集，求实数 $a$ 的取值范围．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5. 024	6.635	7.879	10.828

	成绩小于100分	成绩不小于100分	合计
甲班	$a =__$	$b =__$	50
乙班	$c = 24$	$d = 26$	50
合计	$e =__$	$f =__$	100