江苏省扬州市邗江区2017-2018学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2018-07-05 类型：期中考试

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一、填空题

1. $C_{6}^{3} =$

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2. 已知复数 $z = \frac{5}{1 - 3 i}$ （ $i$ 是虚数单位），则| $z$ |=

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3. 已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是

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4. 观察式子 $1 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$ ， $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}$ ， $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{7}{4}$ ，……，则可以归纳出 $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} <$

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5. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， x) ， \vec{b} = (1 ， 2 ， 1) ， \vec{c} = (1 ， 1 ， 1)$ ，满足条件 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (2 \vec{b}) = - 2$ ，则 $x =$ .

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6. 对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，正确的反设是

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7. 利用数学归纳法证明“ $1 + a + a^{2} + \dots + a^{n + 1} = \frac{1 - a^{n + 2}}{1 - a}$ ， ( $a \neq 1 ， n \in N$ )”时，在验证 $n = 1$ 成立时，左边应该是．

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8. 复平面内有 $A ， B ， C$ 三点，点 $A$ 对应的复数为 $2 + i$ ，向量 $\vec{B A}$ 对应的复数为 $2 + 3 i$ ，向量 $\vec{B C}$ 对应的复数为 $3 - i$ ，则点 $C$ 对应的复数是.

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9. 设平面 $α$ 的法向量为 $(1 ， - 2 ， 2)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $(2 ， λ ， 4)$ ，若 $α$ ∥ $β$ ，则 $λ$ 的值为

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10. 从 $4$ 个男生 $3$ 个女生中挑选 $3$ 人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有种．（用数字作答）

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11. 用数学归纳法证明“ $n^{3} + 5 n (n \in N^{*})$ 能被 $6$ 整除”的过程中，当 $n = k + 1$ 时， ${(k + 1)}^{3} + 5 (k + 1)$ 式子应变形为

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12. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程.比如在表达式 $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x + \dots}}$ 中“ $\dots$ ”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 $1 + \frac{1}{x} = x (x > 0)$ 求得 $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ，类似上述过程，则 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{\dots}}} =$ .

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13. 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为 $θ$ ，则 $\cos θ$ 的最大值为．

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二、解答题

14. 某单位安排 $7$ 位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班 $1$ 天，若 $7$ 位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有多少？

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15. 已知复数 $z = m (m - 1) + (m - 1) i$

(1)、当实数 $m$ 为何值时，复数 $z$ 为纯虚数

(2)、当 $m = 2$ 时，计算 $\bar{z} - \frac{z}{1 - i}$ .

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16.

(1)、求证： $\sqrt{3} + \sqrt{7} < 2 \sqrt{5}$ ；

(2)、已知 $a > 0 ， b > 0$ 且 $a + b > 2$ ，求证： $\frac{1 + b}{a} ， \frac{1 + a}{b}$ 中至少有一个小于2.

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17. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E F$ ∥ $A B ， E F ⊥ F B ， A B = 2 E F$ ， $∠ B F C = 90 ° ， B F = F C ， H$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $F H$ ∥平面 $E D B$ ；

(2)、求证： $A C ⊥$ 平面 $E D B$ .

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18. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4 ， A D = 2 ， A_{1} A = 2 ，$ 点 $F$ 是棱 $B C$ 的中点，点 $E$ 在棱 $C_{1} D_{1}$ 上，且 $D_{1} E = λ E C_{1}$ （ $λ$ 为实数）．

(1)、求二面角 $D_{1} - A C - D$ 的余弦值；

(2)、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，求直线 $E F$ 与平面 $D_{1} A C$ 所成角的正弦值的大小；

(3)、求证：直线 $E F$ 与直线 $E A$ 不可能垂直．

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19. 某班级共派出 $n + 1$ 个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有 $E_{n}$ 种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有 $F_{n}$ 种选法.

(1)、试求 $E_{n}$ 和F_n；

(2)、判断 $ln E_{n}$ 和 $F_{n}$ 的大小（ $n \in N_{+}$ ），并用数学归纳法证明.

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20. 观察如图：
1，
2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15
……
问：

(1)、此表第 $n$ 行的最后一个数是多少？

(2)、此表第 $n$ 行的各个数之和是多少？

(3)、2018是第几行的第几个数？

(4)、是否存在 $n \in N^{*}$ ，使得第n行起的连续10行的所有数之和为 $2^{27} - 2^{13} - 120 ?$ 若存在，求出 $n$ 的值；若不存在，请说明理由．

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