湖北省孝感市八校教学联盟2017-2018学年高二下学期理数期中联合考试试卷

试卷更新日期：2018-07-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $（ 1 ， 0 ）$ B、 $（ \frac{1}{2} ， 0 ）$ C、 $（ 0 ， \frac{1}{8} ）$ D、 $（ 0 ， \frac{1}{4} ）$

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2. 命题“对任意的 $x \in R ， x^{2} + 2 x + 2 > 0$ ”的否定是（）

A、不存在 $x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 \leq 0$ B、存在 $x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 \leq 0$ C、存在 $x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 > 0$ D、对任意的 $x \in R ， x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$

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3. 命题“若 $a + b$ 是偶数，则 $a ， b$ 都是偶数”的否命题是（）

A、若 $a + b$ 不是偶数，则 $a ， b$ 都不是偶数 B、若 $a + b$ 不是偶数，则 $a ， b$ 不都是偶数 C、若 $a + b$ 是偶数，则 $a ， b$ 不都是偶数 D、若 $a + b$ 是偶数，则 $a ， b$ 都不是偶数

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4. 如果方程 $\frac{x^{2}}{m + 1} - \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示双曲线，则实数的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup^{} (2 ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， - 1)$

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5. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $a > | b |$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $B B_{1}$ ， $D_{1} B_{1}$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $D A_{1}$ 所成角的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 如图，在空间四边形 $O A B C$ 中，点 $E$ 为 $B C$ 中点，点 $F$ 在 $O A$ 上，且 $\overset{⇀}{O F} = 2 \overset{⇀}{F A}$ ，则 $\overset{⇀}{E F}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{O A} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$ B、 $- \frac{2}{3} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O B} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$ D、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{O A} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{O B} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$

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8. 圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 3$ 与双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{a} = 1$ 的渐近线相切，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且斜率为 $1$ 的直线交抛物线于 $A ， B$ 两点，则线段 $A B$ 的中点到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 上的一点 $P$ 到焦点F₁的距离为 $6$ ，点 $M$ 是 $P F_{1}$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则 $| O M |$ 等于（）

A、2 B、4 C、7 D、 $14$

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11. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，过点 $P （ 1 ， 1 ）$ 作直线 $l$ 与双曲线交于 $A 、 B$ 两点，使点 $P$ 是线段 $A B$ 的中点，那么直线 $l$ 的方程为（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 3 = 0$ C、 $x - 2 y + 1 = 0$ D、不存在

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12. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 是椭圆上一点， $I$ 为 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内心，若 $S_{Δ P F_{1} F_{2}} = 4 S_{Δ I F_{1} F_{2}}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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二、填空题

13. 命题“若 $x \neq 2$ 或 $y \neq 3$ ，则 $x + y \neq 5$ ”的逆命题是命题（填“真”或“假”）.

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14. 已知空间三点 $A (0 ， 2 ， 3)$ ， $B (2 ， 5 ， 2)$ ， $C (- 2 ， 3 ， 6)$ ，则以 $A B$ ， $A C$ 为邻边的平行四边形的面积为．

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15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 为抛物线 $C$ 上任意一点，若点 $A (4 ， 2)$ ，则 $| P F | + | P A |$ 的最小值为

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16. 已知点 $A (- 1 ， 0)$ ，点B是圆F： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 8$ （F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交 $B F$ 于点 $P$ ，则动点 $P$ 的轨迹方程为．

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三、解答题

17. 已知F₁、F₂分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为 $\frac{5}{3}$ ．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、设点P是双曲线C上任意一点，且|PF₁|=10，求|PF₂|．

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18. 已知命题 $p ：$ 函数 $f (x) = x^{2} - 2 m x + 1$ 在 $(- \infty ， 1)$ 上是减函数，命题 $q ：$ $\exists x_{0} \in R$ ， $4 x_{0}^{2} + (4 m - 2) x_{0} + 1 \leq 0$ ．

(1)、若 $q$ 为假命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若“ $p$ 或 $q$ ”为假命题，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 如图，四面体 $A B C D$ 中，△ $B C D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D = \sqrt{2}$ ，点 $O$ 、 $E$ 分别是 $B D$ 、 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $A O ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $A C D$ 的距离．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，四点 $P_{1} (\sqrt{2} ， 0)$ ， $P_{2} (1 ， 0)$ ， $P_{3} (0 ， \sqrt{2})$ ， $P_{4} (0 ， 1)$ 中恰有两个点为椭圆 $C$ 的顶点，一个点为椭圆 $C$ 的焦点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，且 $| A B | = \frac{4}{3}$ ，求直线 $l$ 方程．

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，四边形 $A B E F$ 是梯形， $∠ E F A = ∠ F A B = 90^{\circ}$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $E F = F A = A D = \frac{1}{2} A B = 1$ ，点 $M$ 是 $D F$ 的中点.

(1)、求证： $B F$ ∥平面 $A M C$ ；

(2)、求二面角 $C - A E - B$ 的余弦值．

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22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线方程为 $x = - \frac{1}{2}$ ，点 $O$ 为坐标原点，不过点 $O$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ ．

(1)、如果直线 $l$ 过点 $(2 ， 0)$ ，求证： $O A ⊥ O B$ ；

(2)、如果 $O A ⊥ O B$ ，证明：直线 $l$ 必过一定点，并求出该定点．

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