辽宁省六校协作体2017-2018学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2018-07-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， sin x \leq 1$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， sin x > 1$ B、 $\forall x \in R ， sin x \geq 1$ C、 $\exists x \in R ， sin x \geq 1$ D、 $\forall x \in R ， sin x > 1$

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2. 已知 $a ， b$ 都是实数，“ $a^{2} > b^{2}$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于（）

A、演绎推理 B、类比推理 C、合情推理 D、归纳推理

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4. 已知复数 $z = \frac{2}{1 - i} + \frac{2}{{(1 - i)}^{2}}$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $\bar{z}$ 的虚部等于（）

A、2 B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、 $- 2 i$

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5. ${(x^{2} - \frac{2}{x^{3}})}^{5}$ 展开式中的常数项是（）

A、 $- 80$ B、 $40$ C、 $80$ D、 $- 40$

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6. 若 $e$ 是自然对数的底数，则 $\int_{2}^{3} e^{2 - x} d x =$ （）

A、 $1 - \frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{e} - 1$ C、 $1 - e$ D、 $e - 1$

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7. 已知实数 $a ， b ， c ， d$ 满足 $a + b = c + d = 1$ ， $a c + b d > 1$ ，用反证法证明： $a ， b ， c ， d$
中至少有一个小于0．下列假设正确的是（）

A、假设 $a ， b ， c ， d$ 至多有一个小于0 B、假设 $a ， b ， c ， d$ 中至多有两个大于0 C、假设 $a ， b ， c ， d$ 都大于0 D、假设 $a ， b ， c ， d$ 都是非负数

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8. 函数 $y = x^{3} - b x^{2} + x$ 有极值点，则 $b$ 的取值范围为（）

A、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ B、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] \cup^{} [\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \sqrt{3}) \cup^{} (\sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $(- \sqrt{3} ， \sqrt{3})$

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9. 学校艺术节对同一类的 $A ， B ， C ， D$ 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“ $C$ 或 $D$ 作品获得一等奖”；
乙说：“ $B$ 作品获得一等奖”；
丙说：“ $A$ ， $D$ 两项作品未获得一等奖”；
丁说：“ $C$ 作品获得一等奖”.
若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）

A、 $A$ B、 $B$ C、 $C$ D、 $D$

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10. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B ， E$ 为 $A A_{1}$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $C D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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11. 张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（）

A、12 B、24 C、36 D、48

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12. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F (- c ， 0)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为E ，延长FE交抛物线 $y^{2} = 4 c x$ 于点P ，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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二、填空题

13. 抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点到双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的渐近线的距离为

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14. 直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 是曲线 $y = ln x$ 的一条切线，则实数 $b$ 的值为

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15. 三角形面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （ $a ， b ， c$ 为三边长， $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ），又三角形可以看作是四边形的极端情形(即四边形的一边长退化为零)．受其启发，请你写出圆内接四边形的面积公式：．

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16. 若 $(1 + x) {(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7}$ 的值为．

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三、解答题

17. 给定命题 $p$ ：对任意实数 $x$ 都有 $a x^{2} + a x + 1 > 0$ 成立； $q$ ：关于 $x$ 的方程 $x^{2} - x + a = 0$ 有实数根．如果 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 是否存在常数 $a ， b$ 使得等式 $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = n (2 n + 1) (a n + b)$ 对一切正整数 $n$ 都成立？若存在，求出 $a ， b$ 值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.

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19. 四棱锥 $S - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形，侧面 $S B C ⊥$ 底面 $A B C D$ .已知 $∠ D A B = 135^{\circ}$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $S B = S C = A B = 2$ ， $F$ 为线段 $S B$ 的中点.

(1)、求证： $S D / /$ 平面 $C F A$ ；

(2)、求平面 $S C D$ 与平面 $S A B$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ ，圆 $N$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 = 0$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并且与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $A 、 B$ 是曲线 $C$ 上关于 $x$ 轴对称的两点，点 $D (3 ， 0)$ ，直线 $D B$ 交曲线 $C$
于另一点 $E$ ，求证：直线 $A E$ 过定点，并求该定点的坐标．

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21. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - m ln \sqrt{1 + 2 x} + m x - 2 m$ ，其中 $m < 0$ ．

(1)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知当 $m \leq - \frac{e}{2}$ （其中 $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数）时，在 $x \in (- \frac{1}{2} ， \frac{e - 1}{2}]$ 上至少存在一点 $x_{0}$ ，使 $f (x_{0}) > e + 1$ 成立，求 $m$ 的取值范围；

(3)、求证：当 $m = - 1$ 时，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 1)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < \frac{1}{3}$ ．

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22. 在极坐标系中，点 $M$ 坐标是 $(3 ， \frac{π}{2})$ ，曲线 $C$ 的方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} sin (θ + \frac{π}{4})$ ；以极点为坐标原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是 $- 1$ 的直线 $l$ 经过点 $M$ ．

(1)、写出直线 $l$ 的参数方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、求证直线 $l$ 和曲线 $C$ 相交于两点 $A$ 、 $B$ ，并求 $| M A | \cdot | M B |$ 的值．

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23. 设关于 $x$ 的不等式 $| x - 4 | + | x - 3 | < a$ ．

(1)、若 $a = 5$ ，求此不等式解集；

(2)、若此不等式解集不是空集，求实数 $a$ 的取值范围．

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