山东省聊城市2017-2018学年高二下学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2018-07-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $(z + i) (1 + 3 i) = 10 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $6$ D、 $3$

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2. 用反正法证明命题“若 $a^{2} + b^{2} = 0$ ，则 $a$ 、 $b$ 全为 $0$ （ $a 、 b \in R$ ）”，其假设正确的是（）

A、 $a$ 、 $b$ 至少有一个为 $0$ B、 $a$ 、 $b$ 至少有一个不为 $0$ C、 $a$ 、 $b$ 全不为 $0$ D、 $a$ 、 $b$ 只有一个为 $0$

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3. 在复平面内，复数 $5 + 3 i$ ， $- 1 + 5 i$ 对应的点分为 $A$ ， $B$ ，若 $C$ 为线段 $A B$ 的中点，则点 $C$ 对应的复数是（）

A、 $3 + i$ B、 $- 3 + i$ C、 $2 + 4 i$ D、 $2 - 4 i$

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4. 某市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的 $2748$ 名有车人中有 $1760$ 名持反对意见， $2652$ 名无车人中有 $1400$ 名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否相关时，用下列哪种方法最有说服力（）

A、平均数与方差 B、回归直线方程 C、独立性检验 D、概率

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5. 观察一列算式： $1 \oplus 1$ ， $1 \oplus 2$ ， $2 \oplus 1$ ， $1 \oplus 3$ ， $2 \oplus 2$ ， $3 \oplus 1$ ， $1 \oplus 4$ ， $2 \oplus 3$ ， $3 \oplus 2$ ， $4 \oplus 1$ ，...，则式子 $5 \oplus 3$ 是第（）

A、 $23$ 项 B、 $24$ 项 C、 $25$ 项 D、 $26$ 项

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6. 经市场调查，某旅游线路票销售量 $y$ （张）与旅游单价 $x$ （元/张）负相关，则其回归方程可能是（）

A、 $\hat{y} = - 200 x + 20000$ B、 $\hat{y} = 200 x + 20000$ C、 $\hat{y} = - 200 x - 20000$ D、 $\hat{y} = 200 x - 20000$

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7. 运行如图所示程序框图，若输出的 $s$ 值为 $\frac{1}{100}$ ，则判断框中应填（）

A、 $i < 3$ B、 $i > 3$ C、 $i < 4$ D、 $i > 4$

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8. 在四个不同的盒子里面放了 $4$ 个不同的水果，分别是桔子、香蕉、葡萄、以及西瓜，让小明、小红、小张、小李四个人进行猜测
小明说：第 $1$ 个盒子里面放的是香蕉，第 $3$ 个盒子里面放的是葡萄；
小红说：第 $2$ 个盒子里面放的是香蕉，第 $3$ 个盒子里面放的是西瓜；
小张说：第 $4$ 个盒子里面敬的是香蕉，第 $2$ 个盒子里面放的是葡萄；
小李说：第 $4$ 个盒子里面放的是桔子，第 $3$ 个盒子里面放的是葡萄；
如果说：“小明、小红、小张、小李，都只说对了一半。”则可以推测，第 $4$ 个盒子里装的是（）

A、西瓜 B、香蕉 C、葡萄 D、桔子

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9. 若大前提是：所有边长都相等的凸多边形是正多边形，小前提是：菱形是所有边长都相等的凸多边形，结论是：菱形是正多边形，那么这个演绎推理出错在（）

A、大前提出错 B、小前提出错 C、推理过程出错 D、没有出错

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10. 甲、乙、丙、丁四人进行选择题解题比赛，已知每个选择题选择正确得 $5$ 分，否则得 $0$ 分.其测试结果如下：甲解题正确的个数小于乙解题正确的个数，乙解题正确的个数小于丙解题正确的个数，丙解题正确的个数小于丁解题正确的个数；且丁解题正确的个数的 $2$ 倍小于甲解题正确的个数的 $3$ 倍，则这四人测试总得分数最少为（）

A、 $150$ B、 $160$ C、 $170$ D、 $180$

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二、填空题

11. 已知复数 $z_{1} = - 5 + 2 i$ ， $z_{2} = 1 - i$ ，且 $z_{1} + z_{2} = z_{3}$ ，则 $\bar{z_{3}} =$ ．

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12. 某商家观察发现某种商品的销售量 $x$ 与气温 $y$ 呈线性相关关系，其中组样本数据如下表：
已知该回归直线方程为 $\hat{y} = 1.02 x + \hat{a}$ ，则实数 $\hat{a} =$ ．

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13. 某校举行数学、物理、化学、生物四科竞赛，甲、乙、丙、丁分别参加其中的一科竞赛，且没有两人参加同一科竞赛.①甲没有参加数学生物竞赛；②乙没有参加化学、生物竞赛；③若甲参加化学竞赛，则丙不参加生物竞赛；④丁没有参加数学、化学竞赛；⑤丙没有参加数学、化学竞赛.若以上命题都是真命题，那么丁参加的竞赛科目是．

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14. ${(\frac{1 + i}{1 - i})}^{4} =$

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15. 把数列 ${2^{n}}$ 的各项依次排列，如图所示，则第 $11$ 行的第 $15$ 个数为．

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三、解答题

16. 设复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且 $2 z + \bar{z} = 3 + i$ ， $ω = sin θ - i cos θ$ ，复数 $z - ω$ 对应复平面的向量 $\overset{⇀}{O M}$ ，求 $z$ 的值和 ${| \overset{⇀}{O M} |}^{2}$ 的取值范围.

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17. 若 $x$ ， $y$ 都是正实数，且 $x + y > \frac{4}{3}$ .求证： $\frac{2 + x}{y} < 4$ 与 $\frac{2 + y}{x} < 4$ 中至少有一个成立.

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18. 在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增加而提升.已知某供应商向饭店定期供应某种蔬菜，其价格会随着日需求量的增加而上升，具体情形统计如下表所示：
参考公式及数据：
对于一组数据 $(v_{1} ， u_{1})$ ， $(v_{2} ， u_{2})$ ... $(v_{n} ， u_{n})$ ，其回归直线 $u = α + β v$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} u_{i} - n \bar{v} \cdot \bar{u}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{u} - \hat{β} \bar{v}$
其中： $v = ln x$ ， $u = ln y$

(1)、根据上表中的数据进行判断， $y = a x^{b}$ 与 $y = a x + b$ 哪一个更适合作为日供应量 $x$ 与单价 $y$ 之间的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）；

(2)、根据（1）的判断结果以及参考数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(3)、该地区有 $7$ 个酒店，其中 $5$ 个酒店每日对蔬菜的需求量在 $60 k g$ 以下， $2$ 个酒店对蔬菜的需求量在 $60 k g$ 以上，从这 $7$ 个酒店中任取 $2$ 个进行调查，求恰有 $1$ 个酒店对蔬菜需求量在 $60 k g$ 以上的概率.

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19. 已知平面直角坐标 $x o y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s α \\ y = \sqrt{2} s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = a - 2 \sqrt{5} t \\ y = - 2 \sqrt{5} t \end{matrix}$ （ $a \in R$ ， $t$ 参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)、若 $a = 2$ ，求直线 $l$ 以及曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、已知 $M$ ， $N$ ， $P$ ， $Q$ 均在曲线 $C$ 上，且四边形 $M N P Q$ 为矩形为矩形，求其周长的最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 2 | - 5$ .

(1)、解不等式： $f (x) \geq | x - 1 |$ ；

(2)、设函数 $g (x) = m + | 2 x - m |$ ，当 $x \in R$ 时， $f (x) + g (x) \geq 3$ ，求 $m$ 的取值范围.

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